1. परिचय
प्रस्तावनात्मक कलन, या प्रस्तावनात्मक तर्क, तर्कशास्त्र की एक मौलिक शाखा है जो प्रस्तावों के हेरफेर और संयोजनसंयोजनतभी सत्य जब दोनों भाग सत्य हों: p ∧ q।पूरी प्रविष्टि पढ़ें पर केंद्रित है - ऐसे कथनप्रतिज्ञप्तिऐसा कथन जो सत्य हो या असत्य, दोनों नहीं।पूरी प्रविष्टि पढ़ें जिन्हें निश्चित रूप से सत्य या असत्य घोषित किया जा सकता है।
2. प्रस्ताव
Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".
3. सत्य मान: ⊤ और ⊥
प्रस्तावात्मक तर्क में, हम सत्य मानसत्यमानप्रतिज्ञप्ति के दो संभव मानों में से एक: सत्य या असत्य।पूरी प्रविष्टि पढ़ेंों का प्रतिनिधित्व करने के लिए विशेष प्रतीकों का उपयोग करते हैं: ⊤ (शीर्ष) सत्य का प्रतिनिधित्व करता है और ⊥ (तल) असत्य का प्रतिनिधित्व करता है। ये प्रतीक औपचारिक तर्क में मानक हैं और इस गाइड के दौरान सत्य तालिकाओं में दिखाई देते हैं।
4. सत्य तालिकाएं
सत्य तालिकाएं उनके घटक प्रस्तावों के सत्य मानों के आधार पर तार्किक अभिव्यक्तियों के सत्य मान निर्धारित करने के लिए व्यवस्थित तरीके हैं।
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | ⊤ |
| ⊥ | ⊤ | ⊤ |
| ⊤ | ⊥ | ⊥ |
| ⊤ | ⊤ | ⊤ |
5. तार्किक ऑपरेटर
तार्किक ऑपरेटर प्रतीक हैं जिनका उपयोग प्रस्तावों को जोड़ने या उनके सत्य मानों को बदलने के लिए किया जाता है। प्राथमिक ऑपरेटरों में शामिल हैं:
AND ∧
सत्य अगर दोनों प्रस्ताव जिन्हें यह जोड़ता है सत्य हैं। ∧
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊤ | ⊥ |
| ⊤ | ⊥ | ⊥ |
| ⊤ | ⊤ | ⊤ |
OR ∨
सत्य अगर संयुक्त प्रस्तावों में से कम से कम एक सत्य है। ∨
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | ⊥ |
| ⊥ | ⊤ | ⊤ |
| ⊤ | ⊥ | ⊤ |
| ⊤ | ⊤ | ⊤ |
IMPLIES →
सत्य सिवाय जब पहला प्रस्ताव सत्य है और दूसरा असत्य है। →
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | ⊤ |
| ⊥ | ⊤ | ⊤ |
| ⊤ | ⊥ | ⊥ |
| ⊤ | ⊤ | ⊤ |
BICONDITIONAL ↔
सत्य अगर दोनों प्रस्ताव समान रूप से सत्य या असत्य हैं। ↔
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | ⊤ |
| ⊥ | ⊤ | ⊥ |
| ⊤ | ⊥ | ⊥ |
| ⊤ | ⊤ | ⊤ |
6. अभिव्यक्तियां
अभिव्यक्तियां अधिक जटिल कथन हैं जो तार्किक ऑपरेटरों के साथ प्रस्तावों को जोड़कर बनाई जाती हैं।
7. तार्किक समानताएं
तार्किक समानताएं ऐसी अभिव्यक्तियां हैं जो सभी संभावित स्थितियों में समान सत्य मान रखती हैं।
8. प्रमाण
प्रस्तावनात्मक कलन में प्रमाण में स्वयंसिद्धों, पूर्व में स्थापित सत्यों और अनुमान के नियमों के आधार पर एक प्रस्ताव की सत्यता प्रदर्शित करना शामिल है।
9. अनुप्रयोग
प्रस्तावनात्मक कलन केवल एक सैद्धांतिक ढांचा नहीं है बल्कि कंप्यूटर विज्ञान में सॉफ़्टवेयर सत्यापन के लिए, गणित में प्रमाणों को औपचारिक बनाने के लिए, और दर्शनशास्त्र में तर्कों का विश्लेषण करने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं।