सत्य सारणी से व्यंजक बनाने वाला उपकरण

आउटपुट स्तंभ को जैसा चाहिए वैसा क्लिक करके तय करें, और उपकरण उसी से सूत्र पढ़ लेता है: मानक DNF (गुणनफलों का योग), मानक CNF (योगों का गुणनफल), और सबसे छोटा समतुल्य रूप। सब कुछ आपके ब्राउज़र में चलता है, और आपकी बनाई सारणी लिंक में ही समा जाती है।

चर: p, q

p	q	आउटपुट
⊥	⊥
⊤	⊥
⊥	⊤
⊤	⊤

सत्य (⊤) और असत्य (⊥) के बीच बदलने के लिए आउटपुट मानों पर क्लिक करें

बना हुआ व्यंजक

वियोजक प्रसामान्य रूप (गुणनफलों का योग)

(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

कैलकुलेटर में विश्लेषण करें

सत्य सारणी को बूलीय व्यंजक में कैसे बदलें

हर सत्य सारणी किसी न किसी सूत्र की सत्य सारणी होती है, और उनमें से दो सूत्र सीधे उसी से पढ़े जा सकते हैं - न बीजगणित की ज़रूरत, न अनुमान की:

अपने n चरों के लिए पूरी 2ⁿ पंक्तियाँ लिखें और उन पंक्तियों पर निशान लगाएँ जिनका आउटपुट ⊤ है।
हर ⊤ पंक्ति के लिए एक मिनटर्म लिखें: सभी चर AND से जुड़े हुए, और जहाँ पंक्ति उन्हें असत्य बनाती है वहाँ निषेध के साथ। मिनटर्मों को OR से जोड़ दें - यही DNF है।
हर ⊥ पंक्ति के लिए एक मैक्सटर्म लिखें: सभी चर OR से जुड़े हुए, और जहाँ पंक्ति उन्हें सत्य बनाती है वहाँ निषेध के साथ। मैक्सटर्मों को AND से जोड़ दें - यही CNF है।
दोनों सूत्रों की सत्य सारणी ठीक वही है जिससे आपने शुरू किया था, इसलिए दोनों ही सही उत्तर हैं। सबसे छोटा रूप चाहिए तो बाद में सरल कर लें।

मिनटर्म

सभी चरों का एक संयोजन, जिसमें हर चर या तो निषेधित है या नहीं, और जो सारणी की ठीक एक पंक्ति में सत्य होता है। DNF उन पंक्तियों के मिनटर्मों का वियोजन है जिनका आउटपुट ⊤ है - इसीलिए उसमें हर ⊤ पंक्ति के लिए एक पद होता है।

मैक्सटर्म

सभी चरों का एक वियोजन, जिसमें हर चर या तो निषेधित है या नहीं, और जो सारणी की ठीक एक पंक्ति में असत्य होता है। CNF उन पंक्तियों के मैक्सटर्मों का संयोजन है जिनका आउटपुट ⊥ है - इसीलिए उसमें हर ⊥ पंक्ति के लिए एक पद होता है।

हल किया गया उदाहरण: अनन्य OR

ऊपर की सारणी वही है जिससे उपकरण खुलता है: p और q, ठीक उन दो पंक्तियों में सत्य जिनमें इनपुट अलग-अलग हैं।

दो पंक्तियाँ ⊤ हैं, इसलिए DNF में दो मिनटर्म हैं: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
बाकी दो पंक्तियाँ ⊥ हैं, इसलिए CNF में दो मैक्सटर्म हैं: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

इनमें से किसी को छोटा नहीं किया जा सकता - अनन्य OR को सचमुच दोनों पदों की ज़रूरत है - और यह एक बार देख लेना अच्छा है: मानक रूप हमेशा लंबा रास्ता नहीं होता। असली अंतर «p, q, r में से अधिक से अधिक एक» जैसी सारणी पर दिखता है, जहाँ न्यूनतम रूप कहीं आगे निकल जाता है।

बूलीय संश्लेषण को समझना

वियोजक प्रसामान्य रूप (DNF)

DNF किसी सूत्र को ANDs के OR (गुणनफलों का योग) के रूप में लिखता है। जिस-जिस पंक्ति में आउटपुट सत्य है, उसके लिए एक मिनटर्म बनाया जाता है जो सभी चरों को AND से जोड़ता है और असत्य चरों का निषेध करता है। फिर इन मिनटर्मों को OR से जोड़कर पूरा व्यंजक बनता है।

संयोजक प्रसामान्य रूप (CNF)

CNF किसी सूत्र को ORs के AND (योगों का गुणनफल) के रूप में लिखता है। जिस-जिस पंक्ति में आउटपुट असत्य है, उसके लिए एक मैक्सटर्म बनाया जाता है जो सभी चरों को OR से जोड़ता है और सत्य चरों का निषेध करता है। फिर इन मैक्सटर्मों को AND से जोड़कर पूरा व्यंजक बनता है।

DNF और CNF की तुलना

पहलू	वियोजक प्रसामान्य रूप (गुणनफलों का योग)	संयोजक प्रसामान्य रूप (योगों का गुणनफल)
किससे बनता है	उन पंक्तियों से जिनका आउटपुट ⊤ है, हर एक से एक मिनटर्म	उन पंक्तियों से जिनका आउटपुट ⊥ है, हर एक से एक मैक्सटर्म
रूप	संयोजनों का वियोजन: ANDs का OR	वियोजनों का संयोजन: ORs का AND
कब चुनें	आप वे स्थितियाँ गिनाना चाहते हैं जिनमें सूत्र सत्य होता है, या AND-OR परिपथ बिछाना चाहते हैं	आपको वे शर्तें चाहिए जो एक साथ पूरी होनी हैं, या वह उपवाक्य रूप जो SAT सॉल्वर माँगता है

सारणी कितनी बड़ी होती है?

n चरों के फलन की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, इसलिए हर नए चर के साथ सारणी दोगुनी हो जाती है: दो चरों पर 4 पंक्तियाँ, तीन पर 8, चार पर 16 और पाँच पर 32 - यह उपकरण यहीं रुक जाता है। DNF हर ⊤ पंक्ति के लिए एक पद लेता है और CNF हर ⊥ पंक्ति के लिए एक, इसलिए दोनों मिलकर हर पंक्ति को ठीक एक बार गिनते हैं - और दोनों में से एक हमेशा छोटी शुरुआत होती है।

सत्य सारणी संश्लेषण के उपयोग

सत्य सारणी को तार्किक व्यंजक में बदलना कंप्यूटर विज्ञान और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स की एक बुनियादी तकनीक है। यह उपकरण इनमें मदद करता है:

डिजिटल परिपथ डिज़ाइन - वांछित इनपुट-आउटपुट व्यवहार से लॉजिक गेटों के लिए बूलीय समीकरण निकालना
सॉफ़्टवेयर विकास - विनिर्देश तालिकाओं से शर्त-आधारित तर्क बनाना
पढ़ाई - बूलीय बीजगणित और प्रतिज्ञप्ति तर्कशास्त्र सीखना और अभ्यास करना
तर्क अनुकूलन - सरल समतुल्य व्यंजक पाने के लिए DNF और CNF की तुलना करना

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

लॉजिक कैलकुलेटर के उपयोग से जुड़े सामान्य प्रश्नों के उत्तर

सत्य सारणी से व्यंजक बनाने वाला उपकरण क्या करता है?

यह कैलकुलेटर को उलटा चलाता है। आप हर पंक्ति पर क्लिक करके सत्य सारणी का आउटपुट स्तंभ तय करते हैं, और यह ठीक उसी सत्य सारणी वाला सूत्र बना देता है — वियोजक प्रसामान्य रूप (ANDs का OR) या संयोजक प्रसामान्य रूप (ORs का AND) में।

DNF और CNF में क्या अंतर है?

DNF गुणनफलों का योग है: जिस-जिस पंक्ति में आउटपुट सत्य है उसके लिए एक संयोजन, और सबको OR से जोड़ा जाता है। CNF योगों का गुणनफल है: जिस-जिस पंक्ति में आउटपुट असत्य है उसके लिए एक वियोजन, और सबको AND से जोड़ा जाता है। दोनों एक ही फलन बताते हैं, इसलिए वही चुनिए जो आपकी सारणी के लिए छोटा पड़े — अधिकतर असत्य वाला स्तंभ छोटा DNF देता है, अधिकतर सत्य वाला छोटा CNF।

संश्लेषण उपकरण कितने चर ले सकता है?

अधिकतम पाँच, यानी 32 पंक्तियों की सारणी। हर नया चर पंक्तियाँ दोगुनी कर देता है, और पाँच के बाद सारणी हाथ से भरने लायक नहीं रह जाती।

बना हुआ व्यंजक इतना लंबा क्यों है?

प्रसामान्य रूप पंक्ति-दर-पंक्ति बनता है: जितनी पंक्तियाँ ढँकनी हों, उतने पूरे-चौड़े पद। इसलिए उसकी लंबाई सूत्र के पीछे के विचार की नहीं, सत्य सारणी की अनुगामी होती है। वह रचना से सही होता है, संक्षिप्त नहीं। छोटा करने के लिए उसे कैलकुलेटर में खोलिए, जो समतुल्य रूपों की सूची देता है — जिनमें एक न्यूनीकृत DNF भी है।

क्या मुझे किसी सूत्र का सरल रूप मिल सकता है?

हाँ। उसे कैलकुलेटर में डालिए और सत्य सारणी के नीचे दिए समतुल्य रूप देखिए। उनमें बीजगणितीय नियमों से पुनर्लेखन द्वारा प्राप्त रूप हैं, तथा सत्य सारणी से पढ़े गए DNF और CNF के साथ एक न्यूनीकृत DNF भी है।

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