कैलकुलेटर, मार्गदर्शिकाओं और अभ्यासों में प्रयुक्त हर पद, एक ही जगह परिभाषित।
कोई पद खोजिए, उसका संकेत देखिए और उदाहरण को कैलकुलेटर में खोलकर उसे काम करते हुए देखिए। यहाँ परिभाषित पद किसी मार्गदर्शिका में पहली बार आने पर उभारे जाते हैं।
सभी 62 पद
यह अध्ययन कि किन मान्यताओं से कौन-से निष्कर्ष सचमुच निकलते हैं।
तर्कशास्त्र विषयवस्तु नहीं, तर्क के रूप का अध्ययन करता है। औपचारिक तर्कशास्त्र वाक्यों की जगह संकेत रखता है, जिससे निष्कर्ष निकलता है या नहीं यह केवल तर्क के आकार से तय होता है और यांत्रिक रूप से जाँचा जा सकता है।
ऐसा कथन जो सत्य हो या असत्य, दोनों नहीं।
प्रतिज्ञप्ति एक विधानवाचक वाक्य है जिसका ठीक एक सत्यमान होता है। “वर्षा हो रही है” प्रतिज्ञप्ति है; प्रश्न या आदेश नहीं, क्योंकि उनमें सत्य या असत्य होने योग्य कुछ नहीं होता।
प्रतिज्ञप्ति के दो संभव मानों में से एक: सत्य या असत्य।
चिरसम्मत तर्कशास्त्र हर प्रतिज्ञप्ति को ठीक एक सत्यमान देता है, जिसे ⊤ और ⊥ (या 1 और 0) लिखा जाता है। सत्य सारणी की हर पंक्ति चरों को दिया गया एक मान-निर्धारण है और वहाँ सूत्र का मान भी।
ऐसी प्रतिज्ञप्ति जिसके भीतर कोई संयोजक नहीं है।
परमाण्विक प्रतिज्ञप्ति को छोटी प्रतिज्ञप्तियों में नहीं तोड़ा जा सकता: उसमें न निषेध है, न संयोजन, न कोई और संयोजक। शेष सब यौगिक है, परमाणुओं से बना, और उसका सत्यमान उन्हीं से तय होता है।
p या A जैसा अक्षर जो किसी भी प्रतिज्ञप्ति के लिए खड़ा होता है।
प्रतिज्ञप्ति चर किसी भी प्रतिज्ञप्ति के लिए रिक्त स्थान है। कैलकुलेटर एकल अक्षरों को चर मानता है और हर चर को सत्य सारणी में एक स्तंभ देता है, तथा मानों के हर संभव संयोजन के लिए एक पंक्ति।
कैलकुलेटर मेंp → qसंकेतों की ऐसी शृंखला जिसे भाषा का व्याकरण सचमुच स्वीकार करता है।
सुगठित सूत्र नियमों से बनता है: चर एक सूत्र है, और छोटे सूत्रों को संयोजक से जोड़कर बना कोई भी सूत्र भी। “p ∧ ∨ q” सुगठित नहीं है, इसीलिए कैलकुलेटर अनुमान लगाने के बजाय त्रुटि बताता है।
किसी सूत्र के सभी चरों को सत्यमान देने का एक तरीका।
अर्थनिर्वचन बताता है कि हर चर का मान क्या है और इस तरह पूरे सूत्र का मान तय कर देता है। n चरों वाले सूत्र के 2ⁿ अर्थनिर्वचन होते हैं — ठीक उसकी सत्य सारणी की पंक्तियाँ।
किसी निष्कर्ष के समर्थन में रखी गई आधारवाक्यों की एक शृंखला।
तर्कवाक्य दावा करता है कि उसका निष्कर्ष आधारवाक्यों से निकलता है। कैलकुलेटर में निगमन-चिह्न के साथ लिखिए — पहले आधारवाक्य, बाद में निष्कर्ष — और हर पंक्ति जाँची जाएगी कि कहीं आधारवाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य तो नहीं।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qवह कथन जिसे तर्कवाक्य निष्कर्ष तक पहुँचने के लिए मान लेता है।
आधारवाक्य तर्क का प्रारंभ-बिंदु हैं। वैधता केवल यह पूछती है कि जहाँ सब आधारवाक्य सत्य हैं वहाँ निष्कर्ष भी सत्य है या नहीं; वे वास्तव में सत्य हैं या नहीं, यह अलग प्रश्न है और उसे सुदृढ़ता जोड़ती है।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qवह कथन जिसे तर्कवाक्य सिद्ध करना चाहता है।
निष्कर्ष वही है जिसके समर्थन में आधारवाक्य रखे जाते हैं। कैलकुलेटर में यह निगमन-चिह्न के बाद का व्यंजक है, और तर्कवाक्य तब वैध है जब कोई अर्थनिर्वचन आधारवाक्यों को सत्य और निष्कर्ष को असत्य न बनाता हो।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qवह संकेत जो सरल प्रतिज्ञप्तियों से यौगिक प्रतिज्ञप्ति बनाता है।
¬, ∧, ∨, → या ↔ जैसा संयोजक प्रतिज्ञप्तियों को जोड़कर बड़ी प्रतिज्ञप्ति बनाता है जिसका सत्यमान केवल उन्हीं पर निर्भर करता है। सत्य सारणी इसी निर्भरता को दर्ज करती है, हर निवेश-संयोजन के लिए एक पंक्ति।
सत्यमान उलट देता है: ¬p ठीक तब सत्य है जब p असत्य हो।
निषेध प्रतिज्ञप्ति तर्क का एकमात्र एकपदी संयोजक है। ¬p, ~p या !p लिखा जाने वाला यह सत्य को असत्य और असत्य को सत्य कर देता है, इसलिए दो बार निषेध करने पर मूल प्रतिज्ञप्ति लौट आती है।
कैलकुलेटर में¬pतभी सत्य जब दोनों भाग सत्य हों: p ∧ q।
संयोजन अपने दोनों भागों (संयोज्यों) का दावा करता है। यह अपनी सत्य सारणी की ठीक एक पंक्ति में सत्य होता है — उसी में जहाँ दोनों संयोज्य सत्य हैं — और इसलिए द्विपदी संयोजकों में सबसे कठोर है।
कैलकुलेटर मेंp ∧ qकम से कम एक भाग सत्य हो तो सत्य: p ∨ q।
तर्कशास्त्र में वियोजन समावेशी है: p सत्य हो, q सत्य हो या दोनों — हर स्थिति में p ∨ q सत्य है। “या” का अपवर्जी अर्थ, जो केवल भागों के भिन्न होने पर सत्य है, एक अलग संयोजक है।
कैलकुलेटर मेंp ∨ qतब सत्य जब दो में से ठीक एक प्रतिज्ञप्ति सत्य हो।
अपवर्जी वियोजन, जिसे ⊕ या XOR लिखते हैं, तब लागू होता है जब उसके भाग भिन्न हों और तब विफल होता है जब वे समान हों। यह द्विशर्त का निषेध है और इसे (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) भी लिखा जा सकता है।
कैलकुलेटर में(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)p → q, केवल तब असत्य जब p सत्य और q असत्य हो।
भौतिक शर्त-वाक्य इससे अधिक कुछ नहीं कहता कि “ऐसा नहीं है कि पूर्वांग सत्य और उत्तरांग असत्य हो”, इसलिए पूर्वांग के असत्य होते ही यह स्वतः सत्य हो जाता है। इसी कारण p → q, ¬p ∨ q के तुल्य है।
कैलकुलेटर मेंp → qp ↔ q, तब सत्य जब दोनों भागों का सत्यमान समान हो।
द्विशर्त हर पक्ष को दूसरे की शर्त पर कहता है: यह तब सत्य है जब दोनों भाग सत्य हों और तब भी जब दोनों असत्य हों। जो द्विशर्त पुनरुक्ति हो, वह ठीक एक तार्किक तुल्यता का कथन है।
कैलकुलेटर मेंp ↔ qशर्त-वाक्य का “यदि” वाला भाग — p → q में p।
पूर्वांग वह शर्त है जिस पर शर्त-वाक्य निर्भर करता है। पूर्वांग के असत्य होने पर उत्तरांग चाहे जो हो, पूरा शर्त-वाक्य सत्य रहता है — → की सारणी की अधिकांश चौंकाने वाली बातें यहीं से आती हैं।
कैलकुलेटर मेंp → qशर्त-वाक्य का “तो” वाला भाग — p → q में q।
उत्तरांग वह है जिसके बारे में शर्त-वाक्य कहता है कि पूर्वांग सत्य हो तो वह भी होगा। उत्तरांग का सत्य होना शर्त-वाक्य को सत्य बनाता है, पर पूर्वांग को नहीं: ऐसा निष्कर्ष निकालना औपचारिक भ्रांति है।
कैलकुलेटर मेंp → qदोनों भागों की अदला-बदली वाला शर्त-वाक्य: q → p।
p → q का विलोम q → p है, और दोनों तुल्य नहीं हैं: कैलकुलेटर ऐसी पंक्ति ढूँढ़ लेता है जहाँ एक सत्य और दूसरा असत्य हो। दोनों को अदल-बदल कर प्रयोग करना उत्तरांग-स्वीकरण है।
कैलकुलेटर मेंq → p¬q → ¬p, जिसका सत्यमान सदा p → q जैसा होता है।
प्रतिधनात्मक शर्त-वाक्य के दोनों भागों का निषेध कर उन्हें अदल-बदल देता है। विलोम के विपरीत यह मूल के सचमुच तुल्य है, और इसी से गणित में प्रतिधनात्मक द्वारा प्रमाण उचित ठहरता है।
कैलकुलेटर में(p → q) ≡ (¬q → ¬p)संयोजन का निषेध: दोनों निवेश सत्य हों तभी असत्य, अन्यथा सत्य।
NAND, जिसे ↑ लिखते हैं, ¬(p ∧ q) है। यह फलनात्मक रूप से पूर्ण है: कोई भी अन्य संयोजक अकेले NAND से बनाया जा सकता है, इसीलिए यह अंकीय परिपथ अभिकल्प का मुख्य आधार है।
कैलकुलेटर में¬(p ∧ q)वियोजन का निषेध: तभी सत्य जब दोनों निवेश असत्य हों।
NOR, जिसे ↓ लिखते हैं, ¬(p ∨ q) है। NAND की तरह यह भी अकेले फलनात्मक रूप से पूर्ण है, इसलिए कोई परिपथ पूरी तरह NOR गेटों से बनाया जा सकता है।
कैलकुलेटर में¬(p ∨ q)कोष्ठक न हों तो कौन-सा संयोजक पहले लागू होता है।
सबसे कसकर निषेध बाँधता है, फिर संयोजन, वियोजन, शर्त-वाक्य और अंत में द्विशर्त। इसलिए ¬p ∧ q ∨ r को ((¬p) ∧ q) ∨ r पढ़ा जाता है; अभीष्ट अर्थ भिन्न हो तो कोष्ठक यह क्रम बदल देते हैं।
कैलकुलेटर में¬p ∧ q ∨ rहर मान-निर्धारण के लिए एक पंक्ति और उसमें सूत्र का मान।
सत्य सारणी किसी सूत्र के n चरों के सभी 2ⁿ अर्थनिर्वचन गिनाती है और हर एक में उसका मान निकालती है। पूर्ण होने के कारण यह प्रतिज्ञप्ति तर्क के हर अर्थपरक प्रश्न का उत्तर देती है: तुल्यता, वैधता, संतुष्टिकरणीयता आदि।
कैलकुलेटर मेंp → qऐसा सूत्र जो हर अर्थनिर्वचन में सत्य हो।
पुनरुक्ति अपनी सत्य सारणी की हर पंक्ति में सत्य होती है, इसलिए वह संसार के बारे में कुछ नहीं कहती: p चाहे जो हो, p ∨ ¬p सत्य है। दो सूत्र ठीक तब तुल्य हैं जब उनके बीच की द्विशर्त पुनरुक्ति हो।
कैलकुलेटर मेंp ∨ ¬pऐसा सूत्र जो हर अर्थनिर्वचन में असत्य हो।
p ∧ ¬p जैसा व्याघात अपनी सत्य सारणी की हर पंक्ति में असत्य है। मान्यताओं के समुच्चय से व्याघात निकालना यह दिखाता है कि वे सब एक साथ नहीं टिक सकतीं — यही विरोधाभास द्वारा प्रमाण का इंजन है।
कैलकुलेटर मेंp ∧ ¬pकुछ अर्थनिर्वचनों में सत्य और कुछ में असत्य सूत्र।
सांयोगिक सूत्र न पुनरुक्ति है न व्याघात: उसकी सत्य सारणी में कम से कम एक सत्य और एक असत्य पंक्ति होती है। लोग जो सूत्र लिखते हैं उनमें अधिकांश ऐसे ही होते हैं, और इसी से वे सूचनाप्रद बनते हैं।
कैलकुलेटर मेंp ∧ qक्या कोई अर्थनिर्वचन सूत्र को सत्य बनाता है।
जब सूत्र की सत्य सारणी की कम से कम एक पंक्ति सत्य हो तो वह संतुष्टिकरणीय है, और वही पंक्ति उसका प्रतिरूप है। संतुष्टिकरणीयता तय करना SAT हलकर्ताओं की और उनके माध्यम से स्वचालित तर्कण की केंद्रीय समस्या है।
कैलकुलेटर मेंp ∧ (p → q)एक जैसी सत्य सारणियों वाले दो सूत्र।
तुल्य सूत्र हर अर्थनिर्वचन में एक जैसे होते हैं, इसलिए कहीं भी एक को दूसरे से बदला जा सकता है और अर्थ नहीं बदलता। दो व्यंजकों के बीच बराबर का चिह्न लिखिए और कैलकुलेटर उनके स्तंभ पंक्ति-दर-पंक्ति मिला देगा।
कैलकुलेटर में(p → q) ≡ (¬p ∨ q)जिस भी अर्थनिर्वचन में आधारवाक्य सत्य हैं, उसमें निष्कर्ष भी सत्य है।
Γ ⊨ φ लिखा जाने वाला तार्किक निगमन वही है जिसका दावा एक वैध तर्कवाक्य करता है। जाँच प्रतिउदाहरण खोजकर होती है: ऐसा अर्थनिर्वचन जो सब आधारवाक्य सत्य और निष्कर्ष असत्य बनाए। ऐसा न मिले तो निगमन सिद्ध है।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qकोई अर्थनिर्वचन आधारवाक्यों को सत्य और निष्कर्ष को असत्य नहीं बनाता।
वैधता तथ्यों की नहीं, तर्क के रूप की विशेषता है: वैध तर्कवाक्य के आधारवाक्य और निष्कर्ष दोनों असत्य हो सकते हैं। जो नहीं हो सकता वह है सत्य आधारवाक्यों के साथ असत्य निष्कर्ष।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qऐसा वैध तर्कवाक्य जिसके आधारवाक्य भी सत्य हों।
सुदृढ़ता औपचारिक दावे में तथ्यात्मक दावा जोड़ती है: तर्कवाक्य वैध है और उसके आधारवाक्य सत्य हैं। पहला आधा भाग अकेला तर्कशास्त्र तय कर देता है; दूसरा उस विषय का है जिसकी बात हो रही है।
ऐसा अर्थनिर्वचन जो आधारवाक्यों को सत्य और निष्कर्ष को असत्य बनाए।
प्रतिप्रतिरूप यह सिद्ध करता है कि तर्कवाक्य अवैध है — एक पंक्ति ही पर्याप्त है। कैलकुलेटर जो पंक्ति पाता है उसे दिखा देता है, जिससे “यह नहीं निकलता” एक ठोस मान-निर्धारण बन जाता है जिसे हाथ से जाँचा जा सके।
कैलकुलेटर मेंp → q ⊨ q → pकोई अर्थनिर्वचन समुच्चय के सभी कथनों को एक साथ सत्य बनाता है।
आधारवाक्यों का समुच्चय तब संगत है जब वे सब एक साथ टिक सकें। असंगत आधारवाक्यों से कुछ भी निकल आता है, इसलिए उन पर खड़ा तर्कवाक्य तकनीकी रूप से वैध होकर भी निरर्थक है।
कैलकुलेटर मेंp → q, ¬q ⊨ ¬pएक चर या उसका निषेध, जैसे p या ¬p।
साहित्यक प्रसामान्य रूपों के परमाणु हैं: उपवाक्य साहित्यकों का वियोजन है और लघुपद उनका संयोजन। चर बिना निषेध के हो तो साहित्यक धनात्मक और निषिद्ध हो तो ऋणात्मक कहलाता है।
कैलकुलेटर में¬pसाहित्यकों का वियोजन, जैसे p ∨ ¬q ∨ r।
उपवाक्य उन कोष्ठक-समूहों में से एक है जिनसे संयोजी प्रसामान्य रूप बनता है। चूँकि संयोजन तभी सत्य है जब हर भाग सत्य हो, CNF सूत्र ठीक तब सत्य है जब उसके सभी उपवाक्य सत्य हों।
कैलकुलेटर मेंp ∨ ¬q ∨ rAND का OR: साहित्यक-संयोजनों का वियोजन।
हर सूत्र का एक वियोजी प्रसामान्य रूप होता है और उसे सीधे सत्य सारणी से पढ़ा जा सकता है: हर सत्य पंक्ति के लिए एक संयोजन, सबको ∨ से जोड़ दीजिए। कैलकुलेटर न्यूनीकृत DNF भी देता है, जो वही बात कम साहित्यकों में कहता है।
कैलकुलेटर में(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r)OR का AND: उपवाक्यों का संयोजन।
संयोजी प्रसामान्य रूप सत्य सारणी की असत्य पंक्तियों से पढ़ा जाता है, हर पंक्ति के लिए एक उपवाक्य। यही वह निवेश-प्रारूप है जिसकी SAT हलकर्ता अपेक्षा करते हैं, इसलिए CNF में बदलना स्वचालित तर्कण का नित्य कदम है।
कैलकुलेटर में(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)ऐसा संयोजन जो सत्य सारणी की ठीक एक पंक्ति बताता है।
लघुपद हर चर का एक बार उल्लेख करता है, निषेध सहित या रहित, इसलिए ठीक एक अर्थनिर्वचन उसे संतुष्ट करता है। सत्य पंक्तियों के लघुपद जोड़कर ∨ से मिलाने पर सूत्र का वियोजी प्रसामान्य रूप मिलता है।
कैलकुलेटर मेंp ∧ ¬q ∧ rऐसा वियोजन जो सत्य सारणी की ठीक एक पंक्ति को बाहर करता है।
गुरुपद हर चर का एक बार उल्लेख करता है और केवल एक अर्थनिर्वचन में असत्य होता है। हर असत्य पंक्ति का गुरुपद लेकर ∧ से मिलाने पर सूत्र का संयोजी प्रसामान्य रूप मिलता है।
कैलकुलेटर मेंp ∨ ¬q ∨ rनिषेध ∧ को ∨ और ∨ को ∧ बना देता है: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q।
डी मॉर्गन के नियम निषेध को संयोजन या वियोजन के भीतर धकेलते हैं और रास्ते में संयोजक पलट देते हैं। इसी से सूत्र प्रसामान्य रूप की ओर बढ़ता है और कोड तथा परिपथों में निषेध सरल होते हैं।
कैलकुलेटर में¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qदो बार निषेध करने पर मूल लौट आता है: ¬¬p ≡ p।
चिरसम्मत तर्कशास्त्र में द्विनिषेध दोनों दिशाओं में लागू है, इसलिए ¬¬p और p सदा अदल-बदल किए जा सकते हैं। अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्र केवल p से ¬¬p की दिशा रखता है, और यहीं दोनों प्रणालियाँ अलग होती हैं।
कैलकुलेटर में¬¬p ≡ pदो मानों का बीजगणित, जिसकी संक्रियाएँ ∧, ∨ और ¬ हैं।
बूलीय बीजगणित 0 और 1 पर अंकगणित के रूप में लिखा प्रतिज्ञप्ति तर्क है, जिसके नियम — क्रमविनिमेयता, वितरण, अवशोषण, डी मॉर्गन — व्यंजकों को फिर से लिखने और सरल करने देते हैं। अंकीय परिपथ इसी गणित में बनाए जाते हैं।
कैलकुलेटर में(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ pसत्य सारणी की ऐसी जालीदार रचना जिसमें सरलीकरण दिख जाता है।
कर्नो मानचित्र पंक्तियों को इस तरह सजाता है कि पड़ोसी खाने एक ही चर में भिन्न हों, और किनारे आपस में जुड़ जाते हैं। इसे के-मैप, K-map या kmap भी लिखा जाता है। 1, 2, 4 या 8 आकार के सटे हुए एक-वाले आयताकार समूह सीधे न्यूनतम व्यंजक के पद बन जाते हैं।
कैलकुलेटर में(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r)मानचित्र पर ऐसा समूह जिसे और बड़ा नहीं किया जा सकता।
अन्तर्भावक साहित्यकों का ऐसा संयोजन है जो सूत्र को सत्य होने पर विवश करता है; कोई भी साहित्यक हटाने पर यह गुण चला जाए तो वह अभाज्य है। कर्नो मानचित्र पर अभाज्य अन्तर्भावक एक-वालों के अधिकतम आयत होते हैं।
किसी विशेष 1 को ढकने वाला एकमात्र अभाज्य अन्तर्भावक।
जब मानचित्र का कोई 1 केवल एक ही अधिकतम समूह में आता है, तो वह समूह हर न्यूनतम आवरण में आना ही चाहिए, इसलिए उसे पहले ले लिया जाता है। जो बचता है वही आवरण का सचमुच खोजने योग्य भाग है।
परिपथ का वह अवयव जो अपने निवेशों पर एक संयोजक की गणना करता है।
AND, OR, NOT, NAND, NOR और XOR द्वार संयोजकों के हार्डवेयर रूप हैं। सूत्र और परिपथ एक ही वस्तु के दो चित्र हैं, इसीलिए कैलकुलेटर किसी व्यंजक को द्वार-आरेख के रूप में दिखा सकता है।
कैलकुलेटर में(p ∧ q) ∨ ¬rपहले से प्राप्त सूत्रों से नए सूत्र तक जाने की अनुमत छलाँग।
निगमन नियम मोडस पोनेंस जैसा प्रतिरूप है जिसे तब लागू किया जा सकता है जब उपयुक्त आकार के सूत्र उपलब्ध हों। प्रमाण-प्रणालियाँ ऐसे मुट्ठी भर नियमों से बनती हैं, जो इस तरह चुने जाते हैं कि केवल निगमित निष्कर्ष ही व्युत्पन्न हो सकें।
p → q और p से q निकलता है।
मोडस पोनेंस शर्त-वाक्य का मूल नियम है: शर्त-वाक्य और उसका पूर्वांग दिए हों तो उत्तरांग निकल आता है। इसकी वैधता सत्य सारणी में दिखती है — जिस अकेली पंक्ति में दोनों आधारवाक्य सत्य हैं, उसमें निष्कर्ष भी सत्य है।
कैलकुलेटर मेंp → q, p ⊨ qp → q और ¬q से ¬p निकलता है।
मोडस टोलेंस शर्त-वाक्य को उलटी दिशा में चलता है: यदि उत्तरांग विफल हो तो पूर्वांग टिक ही नहीं सकता था। यह प्रतिधनात्मक का ही काम है और हर उस तर्क का रूप है जो पूर्वानुमानों की जाँच से परिकल्पना का खंडन करता है।
कैलकुलेटर मेंp → q, ¬q ⊨ ¬pp → q और q → r से p → r निकलता है।
प्राकल्पनिक न्यायवाक्य शर्त-वाक्यों को शृंखला में जोड़ता है, और इसी से लंबी व्युत्पत्तियाँ संभव होती हैं: हर कड़ी बिना किसी आधारवाक्य का दावा किए तर्क को एक कदम आगे ले जाती है।
कैलकुलेटर मेंp → q, q → r ⊨ p → rp ∨ q और ¬p से q निकलता है।
वियोजी न्यायवाक्य बाहर हो चुके विकल्प को हटा देता है: यदि दो में से एक सत्य है और पहला नहीं, तो दूसरा अवश्य सत्य होगा। यही उन्मूलन द्वारा तर्क करने का नियम है।
कैलकुलेटर मेंp ∨ q, ¬p ⊨ qनिगमन नियमों को क्रमशः लगाकर निष्कर्ष सिद्ध करना।
स्वाभाविक निगमन हर संयोजक के प्रवेश और लोप नियमों से आधारवाक्यों से निष्कर्ष निकालता है, और अस्थायी मान्यताएँ रखकर बाद में हटाने देता है। जो सत्य सारणी जाँचती है वही यह सिद्ध करता है, पर हर पंक्ति गिने बिना।
उलटा मान लीजिए, व्याघात निकालिए, मूल कथन सिद्ध कीजिए।
φ सिद्ध करने के लिए ¬φ मान लिया जाता है और ψ ∧ ¬ψ रूप की कोई बात निकाली जाती है। चूँकि कोई अर्थनिर्वचन व्याघात को सत्य नहीं बनाता, वह मान्यता टिक नहीं सकती और φ सिद्ध हो जाता है। अपरिमेयता और अनंतता के प्रमाण प्रायः ऐसे ही चलते हैं।
कैलकुलेटर मेंp ∧ ¬pp → q और q से p तक का अवैध कदम।
उत्तरांग का सत्य होना पूर्वांग को सिद्ध नहीं करता: उसे कुछ और भी उत्पन्न कर सकता था। कैलकुलेटर प्रतिप्रतिरूप दिखाता है — p असत्य, q सत्य — यही वह पंक्ति है जो इसे मोडस पोनेंस से अलग करती है।
कैलकुलेटर मेंp → q, q ⊨ pp → q और ¬p से ¬q तक का अवैध कदम।
शर्त-वाक्य यह नहीं बताता कि पूर्वांग विफल होने पर क्या होगा, इसलिए पूर्वांग को हटा देने पर भी उत्तरांग खुला रहता है। प्रतिप्रतिरूप वह पंक्ति है जहाँ p असत्य और q सत्य है।
कैलकुलेटर मेंp → q, ¬p ⊨ ¬qप्रतिज्ञप्तियों के भीतर वस्तुओं और उनके गुणों को देखने वाला तर्कशास्त्र।
विधेय तर्कशास्त्र विधेय, पद और परिमाणक जोड़ता है, जिससे “दो से बड़ी हर अभाज्य संख्या विषम है” एक अक्षर नहीं, पूरा सूत्र बन जाता है। यह प्रतिज्ञप्ति तर्क से कहीं अधिक अभिव्यक्तिशील है और कोई सत्य सारणी इसका निर्णय नहीं कर सकती।
यह बताने वाला संकेत कि विधेय कितनी वस्तुओं पर लागू होता है।
दो चिरसम्मत परिमाणक ∀ (सभी) और ∃ (कम से कम एक) हैं, और हर एक दूसरे का ही निषेध है जिसका भीतरी भाग भी निषिद्ध हो। परिमाणक जिस चर को बाँधता है, वही विधेय तर्क को प्रतिज्ञप्ति तर्क से अलग करता है।
∀x φ: क्षेत्र की हर वस्तु पर φ लागू होता है।
सार्वत्रिक दावा एक ही प्रतिउदाहरण से खंडित हो जाता है और रिक्त क्षेत्र पर रिक्त रूप से सत्य रहता है। ∀x φ, ¬∃x ¬φ के तुल्य है — परिमाणकों में डी मॉर्गन के नियमों का समकक्ष।
∃x φ: क्षेत्र की कम से कम एक वस्तु पर φ लागू होता है।
अस्तित्वपरक दावा एक साक्षी प्रस्तुत करके सिद्ध होता है। ∃x φ, ¬∀x ¬φ के तुल्य है, इसलिए हर परिमाणक दूसरे और निषेध से परिभाषित किया जा सकता है।
“अनिवार्यतः” (□) और “संभवतः” (◇) से विस्तारित तर्कशास्त्र।
प्रकारात्मक तर्कशास्त्र सूत्रों का मूल्यांकन एक अर्थनिर्वचन में नहीं, संभव संसारों में करता है: □φ तब सत्य है जब φ हर पहुँच-योग्य संसार में सत्य हो, और ◇φ तब जब किसी एक में। “पहुँच-योग्य” का अर्थ बदलने से भिन्न प्रकारात्मक प्रणालियाँ मिलती हैं।
