प्रेडिकेट लॉजिक का परिचय
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प्रेडिकेट लॉजिक, जिसे प्रथम-क्रम लॉजिक या प्रेडिकेट कैलकुलस के रूप में भी जाना जाता है, प्रपोजिशनल लॉजिक का एक शक्तिशाली विस्तार है जो हमें ऑब्जेक्ट्स, उनके गुणों और ऑब्जेक्ट्स के बीच संबंधों के बारे में तर्क करने की अनुमति देता है। जबकि प्रपोजिशनल लॉजिक कथनों को परमाणु इकाइयों के रूप में मानता है, प्रेडिकेट लॉजिक कथनों के अंदर देखने और उनकी आंतरिक संरचना को व्यक्त करने की क्षमता प्रदान करता है।
यह अभिव्यंजक शक्ति प्रेडिकेट लॉजिक को गणित, कंप्यूटर विज्ञान, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, भाषाविज्ञान और औपचारिक सत्यापन के लिए आवश्यक बनाती है। यह गणितीय संरचनाओं, डेटाबेस क्वेरी, सॉफ़्टवेयर विनिर्देशों और ज्ञान प्रतिनिधित्व प्रणालियों का वर्णन करने के लिए तार्किक आधार प्रदान करता है।
प्रपोजिशनल लॉजिक की सीमाएं
प्रपोजिशनल लॉजिक, पूर्ण कथनों के बारे में तर्क करने के लिए उपयोगी होने के बावजूद, जब हमें सामान्यीकरण, ऑब्जेक्ट्स के गुणों या संबंधों को व्यक्त करने की आवश्यकता होती है तो महत्वपूर्ण सीमाएं होती हैं। प्रपोजिशनल लॉजिक में, "सुकरात एक आदमी है" और "प्लेटो एक आदमी है" जैसे कथनों को अलग, असंबंधित प्रस्तावों (P और Q) के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए, भले ही वे एक सामान्य संरचना साझा करते हों।
प्रपोजिशनल लॉजिक "सभी," "कुछ," "हर," या "मौजूद है" से जुड़े कथनों को व्यक्त नहीं कर सकता। यह "सभी पुरुष नश्वर हैं" और "सुकरात एक आदमी है" जैसे कथनों के बीच तार्किक संबंध को पकड़ नहीं सकता, जिन्हें तार्किक रूप से "सुकरात नश्वर है" का अर्थ निकालना चाहिए। यहीं पर प्रेडिकेट लॉजिक आवश्यक हो जाता है।
सीमा का उदाहरण
कथन "सभी मनुष्य नश्वर हैं" पर विचार करें। प्रपोजिशनल लॉजिक में, हम इसे केवल एक एकल प्रस्ताव H के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। लेकिन यह "सभी मनुष्यों" और "नश्वर होने" की संपत्ति से जुड़ी आंतरिक संरचना को पकड़ने में विफल रहता है। प्रेडिकेट लॉजिक हमें इसे अधिक सटीक रूप से ∀x (Human(x) → Mortal(x)) के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।
प्रेडिकेट
प्रेडिकेट एक गुण या संबंध है जिसे एक या अधिक ऑब्जेक्ट्स के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। प्रेडिकेट को फ़ंक्शंस के रूप में सोचें जो ऑब्जेक्ट्स को इनपुट के रूप में लेते हैं और सत्य मान (सत्य या असत्य) को आउटपुट के रूप में लौटाते हैं। प्रेडिकेट हमें ऑब्जेक्ट्स के गुणों और ऑब्जेक्ट्स के बीच संबंधों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।
प्रेडिकेट को कोष्ठक में एक या अधिक तर्कों के बाद बड़े अक्षरों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, P(x) "x में गुण P है" का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि R(x, y) "x, संबंध R द्वारा y से संबंधित है" का प्रतिनिधित्व करता है।
प्रेडिकेट के उदाहरण
- Human(x) - "x मानव है" (एकल प्रेडिकेट, एक तर्क)
- GreaterThan(x, y) - "x, y से बड़ा है" (द्विआधारी प्रेडिकेट, दो तर्क)
- Between(x, y, z) - "x, y और z के बीच है" (त्रिआधारी प्रेडिकेट, तीन तर्क)
- Prime(n) - "n एक अभाज्य संख्या है" (एकल प्रेडिकेट)
क्वांटिफायर
क्वांटिफायर विशेष प्रतीक हैं जो प्रवचन के डोमेन में नमूनों की मात्रा निर्दिष्ट करते हैं जिसके लिए प्रेडिकेट सत्य है। दो मौलिक क्वांटिफायर हैं:
सार्वभौमिक क्वांटिफायर (∀)
व्यक्त करता है कि प्रवचन के डोमेन में सभी तत्वों के लिए प्रेडिकेट सत्य है। यह विचाराधीन ब्रह्मांड में प्रत्येक ऑब्जेक्ट के बारे में दावा करता है।
संकेतन: ∀x P(x) ("सभी x के लिए, P(x) सत्य है" के रूप में पढ़ें)
उदाहरण: ∀x (Human(x) → Mortal(x)) - "सभी x के लिए, यदि x मानव है, तो x नश्वर है"
अस्तित्वात्मक क्वांटिफायर (∃)
व्यक्त करता है कि डोमेन में कम से कम एक तत्व मौजूद है जिसके लिए प्रेडिकेट सत्य है। यह किसी विशेष गुण के साथ किसी चीज के अस्तित्व का दावा करता है।
संकेतन: ∃x P(x) ("एक x मौजूद है जैसे कि P(x)" के रूप में पढ़ें)
उदाहरण: ∃x Prime(x) - "एक संख्या मौजूद है जो अभाज्य है"
प्रेडिकेट लॉजिक की संरचना
प्रेडिकेट लॉजिक अभिव्यक्ति में कई प्रमुख घटक होते हैं:
शब्द
स्थिरांक (विशिष्ट ऑब्जेक्ट जैसे 'सुकरात'), चर (प्लेसहोल्डर जैसे x, y), और फ़ंक्शंस (ऐसे संचालन जो शब्द उत्पन्न करते हैं)।
सूत्र
सुगठित सूत्र (WFFs) वाक्यात्मक रूप से सही अभिव्यक्तियां हैं जो प्रेडिकेट, क्वांटिफायर, चर और तार्किक संयोजकों को मिलाती हैं।
बाध्य और मुक्त चर
वे चर जो क्वांटिफायर द्वारा बाध्य हैं (जैसे, ∀x में x) बनाम मुक्त चर जो क्वांटिफाइड नहीं हैं।
उदाहरण
यहां कुछ उदाहरण हैं जो प्रेडिकेट लॉजिक की अभिव्यंजक शक्ति को दर्शाते हैं:
गणितीय कथन
∀x ∀y ((x > 0 ∧ y > 0) → (x + y > 0)) - "सभी धनात्मक संख्याओं x और y के लिए, उनका योग धनात्मक है"
संबंध
∀x (Parent(x, y) → ∃z Loves(x, z)) - "सभी x के लिए, यदि x, y का माता-पिता है, तो कोई z मौजूद है जिसे x प्यार करता है"
जटिल कथन
∃x (Student(x) ∧ ∀y (Course(y) → Enrolled(x, y))) - "एक छात्र मौजूद है जो सभी पाठ्यक्रमों में नामांकित है"
Practice Exercises→
Test your understanding of predicate logic
क्वांटिफायर के साथ तार्किक समानताएं
जैसे प्रपोजिशनल लॉजिक में तार्किक समानताएं हैं, प्रेडिकेट लॉजिक में क्वांटिफायर से जुड़ी महत्वपूर्ण समानताएं हैं:
- सार्वभौमिक का नकार: ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x) - "सभी x में P गुण नहीं है" "एक x मौजूद है जिसमें P गुण नहीं है" के समतुल्य है
- अस्तित्वात्मक का नकार: ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x) - "यह ऐसा नहीं है कि P गुण वाला कोई x मौजूद है" "सभी x के लिए, x में P गुण नहीं है" के समतुल्य है
- वितरण नियम: ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) - सार्वभौमिक क्वांटिफायर संयोजन पर वितरित होते हैं
Practice predicate logic equivalences →
अनुप्रयोग
प्रेडिकेट लॉजिक कंप्यूटर विज्ञान और गणित के कई क्षेत्रों के लिए मौलिक है:
डेटाबेस
SQL जैसी रिलेशनल डेटाबेस क्वेरी भाषाएं प्रेडिकेट लॉजिक सिद्धांतों पर आधारित हैं, जहां क्वेरी डेटाबेस संबंधों पर प्रेडिकेट व्यक्त करती हैं।
औपचारिक सत्यापन
सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर सिस्टम का औपचारिक सत्यापन शुद्धता गुणों को निर्दिष्ट करने और सिद्ध करने के लिए प्रेडिकेट लॉजिक पर बहुत अधिक निर्भर करता है।
कृत्रिम बुद्धिमत्ता
प्रेडिकेट लॉजिक AI सिस्टम में ज्ञान प्रतिनिधित्व को सक्षम बनाता है, जिससे मशीनें स्वचालित योजना और विशेषज्ञ प्रणालियों में ऑब्जेक्ट्स, उनके गुणों और संबंधों के बारे में तर्क कर सकती हैं।
गणित
वस्तुतः सभी गणितीय कथन और प्रमाण प्रेडिकेट लॉजिक का उपयोग करते हैं, संख्याओं के गुणों को परिभाषित करने से लेकर गणितीय संरचनाओं के बारे में प्रमेयों को व्यक्त करने तक।
प्रपोजिशनल लॉजिक के साथ संबंध
प्रेडिकेट लॉजिक प्रपोजिशनल लॉजिक पर प्रेडिकेट और क्वांटिफायर जोड़कर बनाया गया है। प्रपोजिशनल लॉजिक से सभी तार्किक संयोजक (¬, ∧, ∨, →, ↔) मान्य रहते हैं और प्रेडिकेट लॉजिक में उसी तरह काम करते हैं। अंतर यह है कि परमाणु प्रस्तावों को संयोजित करने के बजाय, हम प्रेडिकेट और क्वांटिफाइड अभिव्यक्तियों को संयोजित करते हैं।
हर प्रपोजिशनल लॉजिक कथन को प्रेडिकेट लॉजिक के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां कोई प्रेडिकेट या क्वांटिफायर का उपयोग नहीं किया जाता है। इसके विपरीत, प्रेडिकेट लॉजिक सामान्य कथनों के बजाय विशिष्ट उदाहरणों के साथ व्यवहार करते समय प्रपोजिशनल लॉजिक में कम हो जाता है।
लॉजिक कैलकुलेटर का उपयोग
जबकि यह कैलकुलेटर प्रपोजिशनल लॉजिक और बूलियन बीजगणित पर केंद्रित है, प्रपोजिशनल और प्रेडिकेट लॉजिक के बीच संबंध को समझने से दोनों प्रणालियों की आपकी समझ गहरी होती है। जिन ऑपरेटर और सत्य तालिकाओं के साथ आप यहां काम करते हैं, वे अधिक अभिव्यंजक प्रेडिकेट लॉजिक की नींव बनाती हैं।
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