हल किए गए प्रमाण
हर पृष्ठ एक तर्क को सिमैंटिक टैब्लो से सिद्ध करता है: आधार वाक्यों को सत्य और निष्कर्ष को असत्य मानकर तब तक विश्लेषण किया जाता है जब तक हर शाखा में विरोधाभास न मिले या कोई मान बचा न रह जाए। सिमैंटिक टैब्लो कैसे काम करते हैं →
वैध तर्क
- मोडस पोनेंस
p→q, p ⊨ qयदि p → q सत्य है और p भी सत्य है, तो q निकलता है। मोडस पोनेंस वह नियम है जिस पर लगभग हर प्रमाण टिका है, और नीचे का टैब्लो हर शाखा बंद कर देता है। - मोडस टोलेंस
p→q, ¬q ⊨ ¬pयदि p → q सत्य है और q असत्य है, तो p भी असत्य होगा: जो p को सत्य बनाता, वह q को भी सत्य बनाता। परिणाम का निषेध पूर्ववर्ती का निषेध कर देता है। - काल्पनिक न्यायवाक्य
p→q, q→r ⊨ p→rबीच की एक साझा अभिव्यक्ति वाले दो संकेतवाक्य जुड़ जाते हैं: p → q और q → r से p → r मिलता है। इसी तरह छोटे कदम लंबा तर्क बनाते हैं। - वियोजक न्यायवाक्य
p∨q, ¬p ⊨ qवियोजन के लिए कम से कम एक पक्ष सत्य चाहिए, इसलिए p ∨ q के साथ ¬p से q बचता है। एक विकल्प हटने पर दूसरा टिका रहता है। - रचनात्मक दुविधा
p∨q, p→r, q→r ⊨ rp हो या q, दोनों दशाओं में r निकलता है — इसलिए r बिना शर्त निकलता है। एक वियोजन और दोनों ओर से एक-एक संकेतवाक्य साझा निष्कर्ष देते हैं। - कॉन्ट्रापोज़िशन
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q और ¬q → ¬p एक ही बात कहते हैं: पूर्ववर्ती सत्य और परिणाम असत्य एक साथ नहीं हो सकते। संकेतवाक्य अपने प्रतिधनात्मक के बराबर है। - डी मॉर्गन का नियम
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) यह नहीं बताता कि कौन-सा संयोजक असत्य है, केवल यह कि दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते — और यही ¬p ∨ ¬q है। - मटीरियल इम्प्लिकेशन
p→q ⊨ ¬p∨qp → q ठीक उन्हीं पंक्तियों में सत्य है जिनमें ¬p ∨ q सत्य है: या तो पूर्ववर्ती असत्य है, या परिणाम सत्य। संकेतवाक्य वेश बदला वियोजन है। - द्विनिषेध
¬¬p ⊨ p¬¬p और p एक ही पंक्तियों में सत्य हैं, इसलिए दोहरा निषेध कहीं भी हटाया जा सकता है। दो निषेध एक-दूसरे को काट देते हैं। - द्विशर्त निष्कासन
p↔q, p ⊨ qp ↔ q के दोनों पक्ष सदा एक ही सत्य-मान रखते हैं, इसलिए p से q मिलता है और q से p। द्विशर्त दोनों दिशाओं में काम करता है। - निषिद्ध मध्य का नियम
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p हर पंक्ति में सत्य है और इसे किसी आधार वाक्य की आवश्यकता नहीं: हर कथन सत्य या असत्य होता है, तीसरा विकल्प नहीं। - विस्फोट सिद्धांत
p, ¬p ⊨ qp और ¬p से कुछ भी निकल आता है: कोई भी मान दोनों आधार वाक्यों को सत्य नहीं बनाता, इसलिए कोई उन्हें सत्य और निष्कर्ष को असत्य भी नहीं बना सकता।
अवैध तर्क
- परिणाम की पुष्टि
p→q, q ⊨ pयह भ्रांति है: p → q के साथ q होने पर भी p अनिश्चित रहता है, क्योंकि q ऐसे कारणों से सत्य हो सकता है जिनका p से कोई संबंध नहीं। नीचे की खुली शाखा प्रति-मॉडल देती है। - पूर्ववर्ती का निषेध
p→q, ¬p ⊨ ¬qयह भ्रांति है: p → q यह नहीं बताता कि p असत्य होने पर क्या होगा, इसलिए ¬p से q अनिश्चित रहता है। नीचे की खुली शाखा p असत्य और q सत्य दिखाती है। - वियोजक की पुष्टि
p∨q, p ⊨ ¬qयह भ्रांति है: p ∨ q समावेशी है, इसलिए दोनों पक्ष एक साथ सत्य हो सकते हैं। p जानने से q के बारे में कुछ पता नहीं चलता, जैसा नीचे की खुली शाखा दिखाती है।