Разобранные доказательства
Каждая страница доказывает одно рассуждение семантической таблицей: посылки считаются истинными, заключение ложным, и всё это разбирается, пока каждая ветвь не придёт к противоречию или не уцелеет означивание. Как устроены семантические таблицы →
Правильные рассуждения
- Модус поненс
p→q, p ⊨ qЕсли p → q верно и p истинно, следует q. Модус поненс — правило, на которое опирается почти всякое доказательство, и таблица ниже замыкает каждую ветвь. - Модус толленс
p→q, ¬q ⊨ ¬pЕсли p → q верно, а q ложно, то и p ложно: всё, что делало бы p истинным, делало бы истинным и q. Отрицание консеквента отрицает антецедент. - Гипотетический силлогизм
p→q, q→r ⊨ p→rДва условных с общей средней формулой сцепляются: из p → q и q → r следует p → r. Так короткие шаги складываются в длинное рассуждение. - Разделительный силлогизм
p∨q, ¬p ⊨ qДизъюнкции нужна хотя бы одна истинная сторона, поэтому p ∨ q вместе с ¬p оставляет q. Исключив один член, получаем другой. - Конструктивная дилемма
p∨q, p→r, q→r ⊨ rВерно ли p или q, r следует в обоих случаях — значит, r следует вообще. Дизъюнкция и по условному с каждой стороны дают общее заключение. - Контрапозиция
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q и ¬q → ¬p говорят одно и то же: ничто не сделает антецедент истинным при ложном консеквенте. Условное равносильно своей контрапозиции. - Закон де Моргана
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) не указывает, какой из членов ложен, а лишь то, что оба сразу не выполняются, — это и есть ¬p ∨ ¬q. - Материальная импликация
p→q ⊨ ¬p∨qp → q верно ровно в тех строках, где верно ¬p ∨ q: либо ложен антецедент, либо истинен консеквент. Условное — переодетая дизъюнкция. - Двойное отрицание
¬¬p ⊨ p¬¬p и p истинны в одних и тех же строках, поэтому двойное отрицание можно снимать где угодно. Два отрицания взаимно уничтожаются. - Удаление эквиваленции
p↔q, p ⊨ qОбе стороны p ↔ q всегда имеют одинаковое значение истинности, поэтому из p следует q, а из q следовало бы p. Эквиваленция работает в обе стороны. - Закон исключённого третьего
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p истинно в каждой строке и не требует никаких посылок: всякое высказывание истинно или ложно, третьего не дано. - Принцип взрыва
p, ¬p ⊨ qИз p и ¬p следует что угодно: ни одно означивание не делает обе посылки истинными, а значит, не сделает их истинными при ложном заключении.
Неправильные рассуждения
- Утверждение консеквента
p→q, q ⊨ pОшибка: p → q вместе с q оставляет p открытым, ведь q может выполняться по причинам, не связанным с p. Открытая ветвь ниже даёт контрмодель. - Отрицание антецедента
p→q, ¬p ⊨ ¬qОшибка: p → q ничего не говорит о том, что будет при ложном p, поэтому ¬p оставляет q открытым. Открытая ветвь ниже показывает истинное q при ложном p. - Утверждение дизъюнкта
p∨q, p ⊨ ¬qОшибка: p ∨ q неисключающая, обе стороны могут выполняться сразу. Знание p ничего не говорит о q, как показывает открытая ветвь ниже.