Введение в пропозициональное исчисление

1. Введение

Пропозициональное исчисление, или пропозициональная логика, является основной ветвью логики, которая фокусируется на манипуляции и комбинации утверждений, которые могут быть определенно объявлены как истинные или ложные.

2. Утверждения

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

3. Истинностные значения: ⊤ и ⊥

В пропозициональной логике мы используем специальные символы для представления истинностных значений: ⊤ (верх) представляет ИСТИНУ, а ⊥ (низ) представляет ЛОЖЬ. Эти символы являются стандартными в формальной логике и появляются в таблицах истинности в этом руководстве.

4. Таблицы истинности

Таблицы истинности показывают все возможные комбинации истинностных значений для логического выражения.

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

p → q

5. Логические операторы

Логические операторы используются для объединения утверждений и создания сложных логических выражений.

Оператор отрицания

Оператор отрицания переворачивает истинностное значение утверждения. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

¬p

Оператор И

Оператор И возвращает истину только когда оба утверждения истинны. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

p ∧ q

Оператор ИЛИ

Оператор ИЛИ возвращает истину когда хотя бы одно из утверждений истинно. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

p ∨ q

ИМПЛИКАЦИЯ →

Истинно за исключением случая, когда первое утверждение истинно, а второе ложно. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

ДВУСТОРОННЯЯ ИМПЛИКАЦИЯ ↔

Истинно, когда оба утверждения одинаково истинны или ложны. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

p ↔ q

6. Выражения

Логические выражения - это утверждения, объединенные с помощью логических операторов.

Practice: Basic Propositions

Test your understanding of propositional logic basics

Complex Expression

Try a compound expression: (p ∧ q) → r

7. Логические эквиваленты

Два логических выражения логически эквивалентны, если они имеют одинаковое истинностное значение при всех назначениях истинностных значений.

De Morgan's Law

Explore ¬(p ∧ q) in the calculator →

Practice Exercises

Work through logical equivalence exercises →

8. Доказательства

Логические доказательства - это последовательности логических рассуждений, которые выводят заключения из предпосылок.

9. Применения

Пропозициональная логика имеет применения во многих областях, включая информатику, математику и философию.

Примените руководство на практике. Эти упражнения используют именно то, что вы только что прочитали, и каждое из них возвращает вас сюда.

Все упражнения

Шаг 2 из 16Начинающий

Прочитано 0 из 16 руководств

ДалееТаблицы истинностиОвладейте основами таблиц истинности, научитесь строить их для любого логического выражения и используйте их для анализа логических эквивалентностей и проверки аргументов.

Все руководства