証明例
各ページは一つの論証を意味論的タブローで証明します。前提を真、結論を偽と仮定し、すべての枝が矛盾するか、割り当てが残るまで分解します。 意味論的タブローの仕組み →
妥当な論証
- 前件肯定
p→q, p ⊨ qp → q が成り立ち p が真なら q が従います。前件肯定はほとんどの証明が頼る規則で、下のタブローはすべての枝が閉じます。 - 後件否定
p→q, ¬q ⊨ ¬pp → q が成り立ち q が偽なら p も偽です。p を真にするものは q も真にするからです。後件を否定すれば前件が否定されます。 - 仮言三段論法
p→q, q→r ⊨ p→r中間の論理式を共有する二つの条件法はつながります。p → q と q → r から p → r が得られ、短い一歩が長い論証を組み立てます。 - 選言三段論法
p∨q, ¬p ⊨ q選言は少なくとも一方が真である必要があるので、p ∨ q と ¬p からは q が残ります。一方を排除すれば他方が立ちます。 - 構成的ジレンマ
p∨q, p→r, q→r ⊨ rp でも q でも r が従うので、r は無条件に従います。選言と両側からの条件法が共通の結論を与えます。 - 対偶
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q と ¬q → ¬p は同じことを述べています。前件が真で後件が偽になることはありません。条件法は対偶と同値です。 - ド・モルガンの法則
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) はどちらの連言項が偽かを述べず、両方は成り立たないとだけ述べます。それがまさに ¬p ∨ ¬q です。 - 実質含意
p→q ⊨ ¬p∨qp → q は ¬p ∨ q が成り立つ行でちょうど成り立ちます。前件が偽か、後件が真かのどちらかです。条件法は装いを変えた選言です。 - 二重否定
¬¬p ⊨ p¬¬p と p は同じ行で真なので、二重否定はどこにあっても外せます。否定は二つで打ち消し合います。 - 双条件の除去
p↔q, p ⊨ qp ↔ q の両側は常に同じ真理値をとるので、p から q が、q から p が得られます。双条件は両方向に働きます。 - 排中律
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p はすべての行で真であり、前提を一つも必要としません。どの命題も真か偽で、第三の可能性はありません。 - 爆発律
p, ¬p ⊨ qp と ¬p からは何でも従います。両方の前提を真にする割り当てが存在しないため、前提が真で結論が偽になることもありません。