Ausgearbeitete Beweise

Jede Seite beweist ein Argument mit einem semantischen Tableau: Die Prämissen werden als wahr, die Konklusion als falsch angenommen und so lange zerlegt, bis jeder Ast sich widerspricht oder eine Belegung übrig bleibt. Wie semantische Tableaus funktionieren →

Gültige Argumente

Modus ponensp→q, p ⊨ qGilt p → q und ist p wahr, folgt q. Der Modus ponens ist die Regel, auf die sich fast jeder Beweis stützt, und das Tableau unten schließt jeden Ast.
Modus tollensp→q, ¬q ⊨ ¬pGilt p → q und ist q falsch, muss auch p falsch sein: Was p wahr machte, machte auch q wahr. Die Verneinung des Konsequens verneint das Antezedens.
Hypothetischer Syllogismusp→q, q→r ⊨ p→rZwei Konditionale mit gemeinsamer Zwischenformel verketten sich: Aus p → q und q → r folgt p → r. So bauen kurze Schritte ein langes Argument.
Disjunktiver Syllogismusp∨q, ¬p ⊨ qEine Disjunktion braucht mindestens eine wahre Seite, also lässt p ∨ q mit ¬p das q übrig. Fällt ein Glied weg, bleibt das andere stehen.
Konstruktives Dilemmap∨q, p→r, q→r ⊨ rOb p oder q gilt, r folgt in beiden Fällen — also folgt r überhaupt. Eine Disjunktion und je ein Konditional geben die gemeinsame Konklusion.
Kontrapositionp→q ⊨ ¬q→¬pp → q und ¬q → ¬p sagen dasselbe: Nichts kann das Antezedens wahr machen, während das Konsequens scheitert. Ein Konditional gilt wie seine Kontraposition.
De Morgansches Gesetz¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) sagt nicht, welches Glied scheitert, nur dass nicht beide gelten können — genau das ist ¬p ∨ ¬q. Die Verneinung einer Konjunktion verteilt sich.
Materiale Implikationp→q ⊨ ¬p∨qp → q gilt genau in den Zeilen, in denen ¬p ∨ q gilt: Entweder scheitert das Antezedens, oder das Konsequens hält. Ein Konditional ist eine verkleidete Disjunktion.
Doppelte Negation¬¬p ⊨ p¬¬p und p sind in denselben Zeilen wahr, eine doppelte Verneinung darf also überall entfallen. Zwei Negationen heben sich auf.
Bikonditional-Beseitigungp↔q, p ⊨ qBeide Seiten von p ↔ q tragen immer denselben Wahrheitswert, also gibt p das q — und q gäbe das p. Ein Bikonditional gilt in beide Richtungen.
Satz vom ausgeschlossenen Dritten⊨ p∨¬pp ∨ ¬p ist in jeder Zeile wahr und braucht gar keine Prämisse: Jede Aussage ist wahr oder falsch, ein Drittes gibt es nicht.
Ex falso quodlibetp, ¬p ⊨ qAus p und ¬p folgt alles: Keine Belegung macht beide Prämissen wahr, also kann keine sie wahr und die Konklusion falsch machen.

Ungültige Argumente