Modus tollens: Ist p→q, ¬q ⊨ ¬p gültig?
Gilt p → q und ist q falsch, muss auch p falsch sein: Was p wahr machte, machte auch q wahr. Die Verneinung des Konsequens verneint das Antezedens.
Gültig
p→q, ¬q ⊨ ¬pJeder Ast des Tableaus schließt sich, also macht nichts die Prämissen wahr und die Konklusion zugleich falsch.
Beweis (semantisches Tableau)
- 1Wahr: p→qPrämisse
- 2Wahr: ¬qPrämisse
- 3Falsch: ¬pnegierte Konklusion
- 4Falsch: qaus Zeile 2
- 5Wahr: paus Zeile 3
- 6Falsch: paus Zeile 1
Ast geschlossen: Zeile 6 widerspricht Zeile 5.
- 7Wahr: qaus Zeile 1
Ast geschlossen: Zeile 7 widerspricht Zeile 4.
geschlossener Ast