Démonstrations résolues
Chaque page démontre un argument avec un tableau sémantique : les prémisses sont supposées vraies et la conclusion fausse, puis décomposées jusqu'à ce que chaque branche se contredise ou qu'une affectation survive. Comment fonctionnent les tableaux sémantiques →
Arguments valides
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qSi p → q est vraie et p aussi, alors q suit. Le modus ponens est la règle sur laquelle presque toutes les démonstrations s'appuient, et le tableau ci-dessous ferme toutes ses branches. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pSi p → q est vraie et q fausse, p doit être fausse : tout ce qui rendrait p vraie rendrait q vraie. Nier le conséquent nie l'antécédent. - Syllogisme hypothétique
p→q, q→r ⊨ p→rDeux conditionnels partageant une formule intermédiaire s'enchaînent : de p → q et q → r on obtient p → r. C'est ainsi que de courts pas font un long argument. - Syllogisme disjonctif
p∨q, ¬p ⊨ qUne disjonction exige au moins un côté vrai : p ∨ q avec ¬p laisse donc q. Écarter un disjoint laisse l'autre debout. - Dilemme constructif
p∨q, p→r, q→r ⊨ rQue ce soit p ou q qui tienne, r suit — donc r suit tout court. Une disjonction et un conditionnel de chaque côté donnent la conclusion commune. - Contraposition
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q et ¬q → ¬p disent la même chose : rien ne peut rendre l'antécédent vrai pendant que le conséquent échoue. Un conditionnel vaut sa contraposée. - Loi de De Morgan
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) ne dit pas lequel des conjoints échoue, seulement qu'ils ne peuvent tenir ensemble — c'est exactement ¬p ∨ ¬q. Nier une conjonction répartit la négation. - Implication matérielle
p→q ⊨ ¬p∨qp → q vaut exactement dans les lignes où vaut ¬p ∨ q : soit l'antécédent échoue, soit le conséquent tient. Un conditionnel est une disjonction déguisée. - Double négation
¬¬p ⊨ p¬¬p et p sont vraies dans les mêmes lignes : une double négation peut donc être supprimée partout où elle apparaît. Deux négations s'annulent. - Élimination du biconditionnel
p↔q, p ⊨ qLes deux côtés de p ↔ q portent toujours la même valeur de vérité : p donne donc q, et q donnerait p. Un biconditionnel fonctionne dans les deux sens. - Principe du tiers exclu
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p est vraie à chaque ligne et n'exige aucune prémisse : toute proposition est vraie ou fausse, sans troisième possibilité. - Principe d'explosion
p, ¬p ⊨ qDe p et ¬p tout suit : aucune affectation ne rend les deux prémisses vraies, donc aucune ne peut les rendre vraies avec une conclusion fausse.
Arguments invalides
- Affirmation du conséquent
p→q, q ⊨ pUn sophisme : p → q avec q laisse p ouverte, car q peut tenir pour des raisons étrangères à p. La branche ouverte ci-dessous donne le contre-modèle. - Négation de l'antécédent
p→q, ¬p ⊨ ¬qUn sophisme : p → q ne dit rien de ce qui arrive quand p échoue, donc ¬p laisse q ouverte. La branche ouverte ci-dessous montre q vraie et p fausse. - Affirmation d'un disjoint
p∨q, p ⊨ ¬qUn sophisme : p ∨ q est inclusive, les deux côtés peuvent donc tenir ensemble. Savoir p n'apprend rien sur q, comme le montre la branche ouverte ci-dessous.