Générateur d'Expressions depuis Table de Vérité
Cliquez sur la colonne de sortie pour lui donner la forme voulue et l'outil en déduit la formule : la FND canonique (somme de produits), la FNC canonique (produit de sommes) et la forme équivalente la plus courte. Tout s'exécute dans votre navigateur, et la table que vous construisez voyage dans le lien.
| p | q | Sortie |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | |
| ⊤ | ⊥ | |
| ⊥ | ⊤ | |
| ⊤ | ⊤ |
Cliquez sur les valeurs de sortie pour basculer entre vrai (⊤) et faux (⊥)
Expression Générée
Comment convertir une table de vérité en expression booléenne
Toute table de vérité est la table de vérité d'une formule, et deux de ces formules se lisent directement dessus, sans algèbre ni tâtonnement :
- Écrivez les 2ⁿ lignes de vos n variables et repérez celles où la sortie vaut ⊤.
- Pour chaque ligne ⊤, écrivez un minterme : toutes les variables en conjonction, niées là où la ligne les rend fausses. Reliez les mintermes par des disjonctions et vous obtenez la FND.
- Pour chaque ligne ⊥, écrivez un maxterme : toutes les variables en disjonction, niées là où la ligne les rend vraies. Reliez les maxtermes par des conjonctions et vous obtenez la FNC.
- Les deux formules ont exactement la table de départ : l'une comme l'autre est une réponse correcte. Minimisez ensuite si vous voulez la plus courte.
Minterme
Une conjonction de toutes les variables, niées ou non, vraie dans exactement une ligne de la table. La FND est la disjonction des mintermes des lignes dont la sortie vaut ⊤, d'où un terme par ligne ⊤.
Maxterme
Une disjonction de toutes les variables, niées ou non, fausse dans exactement une ligne de la table. La FNC est la conjonction des maxtermes des lignes dont la sortie vaut ⊥, d'où un terme par ligne ⊥.
Exemple détaillé : ou exclusif
La table ci-dessus est celle sur laquelle l'outil s'ouvre : p et q, vraie exactement dans les deux lignes où les entrées diffèrent.
- Deux lignes valent ⊤, donc la FND a deux mintermes : (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
- Les deux autres valent ⊥, donc la FNC a deux maxtermes : (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Aucune ne peut être raccourcie - le ou exclusif a réellement besoin de ses deux termes - et cela vaut la peine de le voir une fois : la forme canonique n'est pas toujours le chemin le plus long. Une table comme « au plus un parmi p, q, r » est là où la forme minimale prend l'avantage.
Comprendre la Synthèse Booléenne
Forme Normale Disjonctive (FND)
La FND représente une formule comme un OU de ET (somme de produits). Pour chaque ligne où la sortie est vraie, nous créons un minterme qui associe par ET toutes les variables, en niant celles qui sont fausses. Ces mintermes sont ensuite associés par OU pour former l'expression complète.
Forme Normale Conjonctive (FNC)
La FNC représente une formule comme un ET de OU (produit de sommes). Pour chaque ligne où la sortie est fausse, nous créons un maxterme qui associe par OU toutes les variables, en niant celles qui sont vraies. Ces maxtermes sont ensuite associés par ET pour former l'expression complète.
FND et FNC comparées
| Aspect | Forme Normale Disjonctive (Somme de Produits) | Forme Normale Conjonctive (Produit de Sommes) |
|---|---|---|
| Construite à partir de | Les lignes dont la sortie vaut ⊤, un minterme chacune | Les lignes dont la sortie vaut ⊥, un maxterme chacune |
| Forme | Une disjonction de conjonctions : un OU de ET | Une conjonction de disjonctions : un ET de OU |
| À choisir quand | Vous voulez énumérer les cas qui rendent la formule vraie, ou câbler un circuit ET-OU | Vous voulez les contraintes qui doivent toutes tenir, ou la forme clausale attendue par un solveur SAT |
Quelle taille fait la table ?
Une fonction de n variables a 2ⁿ lignes : la table double à chaque variable ajoutée - 4 lignes pour deux variables, 8 pour trois, 16 pour quatre et 32 pour cinq, où s'arrête cet outil. La FND prend un terme par ligne ⊤ et la FNC un par ligne ⊥ : à elles deux, elles rendent compte de chaque ligne exactement une fois, et l'une des deux est toujours le point de départ le plus court.
Applications de la Synthèse de Tables de Vérité
Convertir des tables de vérité en expressions logiques est une technique fondamentale en informatique et électronique numérique. Cet outil aide à :
- Conception de circuits numériques - Créer des équations booléennes pour les portes logiques à partir du comportement entrée-sortie souhaité
- Développement logiciel - Générer une logique conditionnelle à partir de tables de spécification
- Études académiques - Apprendre et pratiquer l'algèbre booléenne et la logique propositionnelle
- Optimisation logique - Comparer les formes FND et FNC pour trouver des expressions équivalentes plus simples
Questions fréquentes
Trouvez des réponses aux questions courantes sur l'utilisation du Calculateur Logique
Que fait l'outil « table de vérité vers expression » ?
Il fait tourner le calculateur à l'envers. Vous fixez la colonne de sortie d'une table de vérité en cliquant sur chaque ligne, et il produit une formule ayant exactement cette table de vérité, en forme normale disjonctive (un OU de ET) ou en forme normale conjonctive (un ET de OU).
Quelle est la différence entre FND et FNC ?
La FND est une somme de produits : une conjonction pour chaque ligne où la sortie est vraie, le tout relié par des OU. La FNC est un produit de sommes : une disjonction pour chaque ligne où la sortie est fausse, le tout relié par des ET. Les deux décrivent la même fonction ; il faut donc préférer celle qui est la plus courte pour votre table — une colonne majoritairement fausse donne une FND courte, une colonne majoritairement vraie une FNC courte.
Combien de variables l'outil de synthèse accepte-t-il ?
Jusqu'à cinq, soit une table de 32 lignes. Chaque variable ajoutée double le nombre de lignes, et au-delà de cinq la table cesse d'être quelque chose que l'on puisse remplir à la main.
Pourquoi l'expression produite est-elle si longue ?
Une forme normale se construit ligne par ligne, un terme de pleine largeur pour chaque ligne à couvrir : sa longueur suit donc la table de vérité plutôt que l'idée qui la sous-tend. Elle est correcte par construction, pas compacte. Pour la raccourcir, ouvrez-la dans le calculateur, qui liste les formes équivalentes, dont une FND minimisée.
Puis-je obtenir une version simplifiée d'une formule ?
Oui. Saisissez-la dans le calculateur et regardez les formes équivalentes sous la table de vérité. On y trouve des formes obtenues par réécriture avec les lois de l'algèbre, ainsi que la FND et la FNC lues sur la table de vérité, accompagnées d'une FND minimisée.