Demostraciones resueltas
Cada página demuestra un argumento con un tableau semántico: las premisas se suponen verdaderas y la conclusión falsa, y se descomponen hasta que cada rama se contradice o sobrevive una asignación. Cómo funcionan los tableaux semánticos →
Argumentos válidos
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qSi p → q se cumple y p es verdadera, se sigue q. El modus ponens es la regla en la que se apoyan casi todas las demostraciones, y el tableau de abajo cierra todas sus ramas. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pSi p → q se cumple y q es falsa, p también debe serlo: cualquier cosa que hiciera verdadera a p haría verdadera a q. Negar el consecuente niega el antecedente. - Silogismo hipotético
p→q, q→r ⊨ p→rDos condicionales que comparten una fórmula intermedia se encadenan en uno: de p → q y q → r se obtiene p → r. Así los pasos cortos construyen un argumento largo. - Silogismo disyuntivo
p∨q, ¬p ⊨ qUna disyunción necesita al menos un lado verdadero, así que p ∨ q con ¬p deja q. Descartar un disyunto deja el otro en pie. - Dilema constructivo
p∨q, p→r, q→r ⊨ rValga p o valga q, se sigue r; por tanto r se sigue sin más. Una disyunción más un condicional desde cada lado da la conclusión común. - Contraposición
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q y ¬q → ¬p dicen lo mismo: nada puede hacer verdadero el antecedente mientras falla el consecuente. Un condicional equivale a su contrarrecíproco. - Ley de De Morgan
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) no dice cuál conyunto falla, solo que no pueden cumplirse ambos, que es exactamente ¬p ∨ ¬q. Negar una conjunción reparte la negación. - Implicación material
p→q ⊨ ¬p∨qp → q se cumple exactamente en las filas donde se cumple ¬p ∨ q: o falla el antecedente, o vale el consecuente. Un condicional es una disyunción disfrazada. - Doble negación
¬¬p ⊨ p¬¬p y p son verdaderas en las mismas filas, así que una negación doble puede eliminarse donde aparezca. Dos negaciones se cancelan. - Eliminación del bicondicional
p↔q, p ⊨ qLos dos lados de p ↔ q llevan siempre el mismo valor de verdad, así que p da q, y q daría p. Un bicondicional funciona en ambas direcciones. - Ley del tercero excluido
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p es verdadera en todas las filas y no necesita premisa alguna: toda proposición es verdadera o falsa, sin tercera opción. - Principio de explosión
p, ¬p ⊨ qDe p y ¬p se sigue cualquier cosa: ninguna asignación hace verdaderas ambas premisas, así que ninguna puede hacerlas verdaderas y falsa la conclusión.
Argumentos inválidos
- Afirmación del consecuente
p→q, q ⊨ pUna falacia: p → q junto con q deja abierta a p, porque q puede cumplirse por razones ajenas a p. La rama abierta de abajo da el contramodelo. - Negación del antecedente
p→q, ¬p ⊨ ¬qUna falacia: p → q no dice nada sobre lo que ocurre cuando p falla, así que ¬p deja abierta a q. La rama abierta de abajo muestra q verdadera con p falsa. - Afirmación de un disyunto
p∨q, p ⊨ ¬qUna falacia: p ∨ q es inclusiva, así que ambos lados pueden valer a la vez. Saber p no dice nada sobre q, como muestra la rama abierta de abajo.