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Busca un término, mira su notación y abre el ejemplo en la calculadora para verlo funcionar. Los términos definidos aquí se resaltan la primera vez que aparecen en una guía.
Los 62 términos
El estudio de qué conclusiones se siguen realmente de qué supuestos.
La lógica estudia la forma del razonamiento, no su contenido. La lógica formal sustituye las oraciones por símbolos, de modo que si una conclusión se sigue puede decidirse solo por la forma del argumento y comprobarse mecánicamente.
Un enunciado que es verdadero o falso, pero no ambas cosas.
Una proposición es un enunciado declarativo con exactamente un valor de verdad. «Está lloviendo» es una proposición; una pregunta o una orden no lo es, porque en ellas no hay nada que sea verdadero o falso.
Uno de los dos valores que puede tomar una proposición: verdadero o falso.
La lógica clásica asigna a cada proposición exactamente uno de dos valores de verdad, escritos ⊤ y ⊥ (o 1 y 0). Cada fila de una tabla de verdad es una asignación de valores a las variables y el resultado que toma allí la fórmula.
Una proposición que no contiene ninguna conectiva.
Una proposición atómica no puede descomponerse en proposiciones más pequeñas: no contiene negación, conjunción ni ninguna otra conectiva. Todo lo demás es compuesto, construido a partir de átomos, y su valor de verdad depende del de estos.
Una letra como p o A que representa una proposición cualquiera.
Una variable proposicional es un marcador de posición para cualquier proposición. La calculadora acepta letras sueltas como variables y da a cada una una columna de la tabla de verdad, con una fila por cada combinación posible de valores.
En la calculadorap → qUna cadena de símbolos que la gramática del lenguaje realmente permite.
Una fórmula bien formada se construye siguiendo las reglas: una variable lo es, y también lo es cualquier fórmula obtenida de otras menores mediante una conectiva. «p ∧ ∨ q» no lo es, y por eso la calculadora informa de un error en vez de adivinar.
Una asignación de valores de verdad a todas las variables de una fórmula.
Una interpretación dice cuánto vale cada variable y con ello fija el valor de la fórmula entera. Una fórmula con n variables tiene 2ⁿ interpretaciones, que son exactamente las filas de su tabla de verdad.
Un conjunto de premisas ofrecidas en apoyo de una conclusión.
Un argumento afirma que su conclusión se sigue de sus premisas. Escríbelo en la calculadora con un torniquete —premisas antes, conclusión después— y se revisará cada fila en busca de un caso en el que las premisas se cumplan y la conclusión falle.
En la calculadorap → q, p ⊨ qUn enunciado que un argumento supone para llegar a su conclusión.
Las premisas son el punto de partida de un argumento. La validez solo pregunta si la conclusión se cumple allí donde se cumplen todas las premisas; si estas son verdaderas de hecho es otra cuestión, la que añade la solidez.
En la calculadorap → q, p ⊨ qEl enunciado que un argumento intenta establecer.
La conclusión es aquello que las premisas apoyan. En la calculadora es la expresión que sigue al torniquete, y un argumento es válido cuando ninguna interpretación hace verdaderas las premisas y falsa la conclusión.
En la calculadorap → q, p ⊨ qUn símbolo que construye una proposición compuesta a partir de otras.
Una conectiva como ¬, ∧, ∨, → o ↔ combina proposiciones en otra mayor cuyo valor de verdad depende solo de los suyos. Esa dependencia es lo que registra una tabla de verdad, con una fila por combinación de entradas.
Invierte un valor de verdad: ¬p es verdadera justo cuando p es falsa.
La negación es la única conectiva unaria de la lógica proposicional. Escrita ¬p, ~p o !p, convierte lo verdadero en falso y lo falso en verdadero, de modo que negar dos veces devuelve la proposición original.
En la calculadora¬pVerdadera solo cuando ambas partes son verdaderas: p ∧ q.
Una conjunción afirma sus dos partes, llamadas conyuntos. Es verdadera en exactamente una fila de su tabla de verdad —aquella en la que ambos conyuntos lo son—, lo que la convierte en la más estricta de las conectivas binarias.
En la calculadorap ∧ qVerdadera cuando al menos una parte es verdadera: p ∨ q.
La disyunción lógica es inclusiva: p ∨ q es verdadera cuando lo es p, cuando lo es q y cuando lo son ambas. La lectura exclusiva de «o», verdadera solo si las partes difieren, es otra conectiva.
En la calculadorap ∨ qVerdadera cuando exactamente una de las dos proposiciones lo es.
La disyunción exclusiva, escrita ⊕ o XOR, se cumple cuando sus partes difieren y falla cuando coinciden. Es la negación del bicondicional y puede escribirse como (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).
En la calculadora(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)p → q, falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa.
El condicional material no dice más que «no ocurre: antecedente verdadero y consecuente falso», así que se cumple automáticamente siempre que el antecedente falla. Por eso p → q equivale a ¬p ∨ q.
En la calculadorap → qp ↔ q, verdadera cuando ambas partes tienen el mismo valor de verdad.
El bicondicional afirma cada lado bajo la condición del otro: es verdadero cuando ambas partes son verdaderas y cuando ambas son falsas. Un bicondicional que es una tautología expresa exactamente una equivalencia lógica.
En la calculadorap ↔ qLa parte «si» de un condicional: la p en p → q.
El antecedente es la condición de la que depende un condicional. Cuando es falso, el condicional entero es verdadero sea cual sea el consecuente, y de ahí vienen casi todas las sorpresas de la tabla de →.
En la calculadorap → qLa parte «entonces» de un condicional: la q en p → q.
El consecuente es lo que un condicional afirma que se sigue si su antecedente se cumple. Un consecuente verdadero hace verdadero el condicional, pero no hace verdadero el antecedente: inferirlo es una falacia formal.
En la calculadorap → qEl condicional con sus dos partes intercambiadas: q → p.
El recíproco de p → q es q → p, y no son equivalentes: la calculadora encuentra una fila donde uno se cumple y el otro falla. Tratarlos como intercambiables es afirmar el consecuente.
En la calculadoraq → p¬q → ¬p, que siempre tiene el mismo valor de verdad que p → q.
El contrarrecíproco niega las dos partes de un condicional y las intercambia. A diferencia del recíproco sí es equivalente al original, y por eso la demostración por contraposición es legítima en matemáticas.
En la calculadora(p → q) ≡ (¬q → ¬p)La negación de una conjunción: verdadera salvo si ambas entradas lo son.
NAND, escrita ↑, es ¬(p ∧ q). Es funcionalmente completa: cualquier otra conectiva puede construirse solo con NAND, y por eso es una pieza básica del diseño de circuitos digitales.
En la calculadora¬(p ∧ q)La negación de una disyunción: verdadera solo si ambas entradas son falsas.
NOR, escrita ↓, es ¬(p ∨ q). Como NAND, es funcionalmente completa por sí sola, de modo que un circuito puede construirse enteramente con puertas NOR y nada más.
En la calculadora¬(p ∨ q)Qué conectiva se aplica primero cuando faltan paréntesis.
La negación es la que liga con más fuerza, después la conjunción, la disyunción, el condicional y por último el bicondicional. Así, ¬p ∧ q ∨ r se lee ((¬p) ∧ q) ∨ r; los paréntesis alteran ese orden cuando hace falta.
En la calculadora¬p ∧ q ∨ rUna fila por asignación de valores, con el valor de la fórmula en cada una.
Una tabla de verdad enumera las 2ⁿ interpretaciones de las n variables de una fórmula y calcula su valor en cada una. Al ser exhaustiva resuelve toda cuestión semántica de la lógica proposicional: equivalencia, validez, satisfacibilidad y las demás.
En la calculadorap → qUna fórmula verdadera bajo toda interpretación.
Una tautología resulta verdadera en todas las filas de su tabla de verdad, de modo que no dice nada sobre el mundo: p ∨ ¬p es verdadera valga lo que valga p. Dos fórmulas son equivalentes justo cuando el bicondicional entre ellas es una tautología.
En la calculadorap ∨ ¬pUna fórmula falsa bajo toda interpretación.
Una contradicción como p ∧ ¬p es falsa en todas las filas de su tabla de verdad. Derivar una a partir de un conjunto de supuestos muestra que no pueden cumplirse todos, que es el motor de la demostración por reducción al absurdo.
En la calculadorap ∧ ¬pUna fórmula verdadera bajo algunas interpretaciones y falsa bajo otras.
Una fórmula contingente no es ni tautología ni contradicción: su tabla de verdad tiene al menos una fila verdadera y otra falsa. Casi todas las fórmulas que alguien escribe son contingentes, y por eso son informativas.
En la calculadorap ∧ qSi alguna interpretación hace verdadera la fórmula.
Una fórmula es satisfacible cuando al menos una fila de su tabla de verdad es verdadera, y esa fila es un modelo suyo. Decidir la satisfacibilidad es el problema central de los solucionadores SAT y, a través de ellos, de buena parte del razonamiento automático.
En la calculadorap ∧ (p → q)Dos fórmulas con tablas de verdad idénticas.
Las fórmulas equivalentes coinciden bajo toda interpretación, así que cualquiera puede sustituir a la otra sin cambiar lo que se dice. Escribe un signo de igualdad entre dos expresiones y la calculadora comparará sus columnas fila por fila.
En la calculadora(p → q) ≡ (¬p ∨ q)La conclusión se cumple en toda interpretación en que se cumplen las premisas.
Escrita Γ ⊨ φ, la consecuencia lógica es lo que afirma un argumento válido. Se comprueba buscando un contraejemplo: una interpretación que haga verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión. Si no existe, la consecuencia se cumple.
En la calculadorap → q, p ⊨ qNinguna interpretación hace verdaderas las premisas y falsa la conclusión.
La validez es una propiedad de la forma del argumento, no de los hechos: un argumento válido puede tener premisas falsas y conclusión falsa. Lo que no puede tener son premisas verdaderas junto a una conclusión falsa.
En la calculadorap → q, p ⊨ qUn argumento válido cuyas premisas además son verdaderas.
La solidez añade una afirmación fáctica a una formal: el argumento es válido y sus premisas se cumplen. La lógica por sí sola resuelve la primera mitad; la segunda pertenece al tema del que trate el argumento.
Una interpretación que hace verdaderas las premisas y falsa la conclusión.
Un contramodelo demuestra que un argumento es inválido: basta una fila. La calculadora muestra la que encuentra, lo que convierte «esto no se sigue» en una asignación concreta que puedes comprobar a mano.
En la calculadorap → q ⊨ q → pAlguna interpretación hace verdaderos a la vez todos los enunciados del conjunto.
Un conjunto de premisas es consistente cuando pueden cumplirse todas juntas. Unas premisas inconsistentes implican cualquier cosa, así que un argumento construido sobre ellas es técnicamente válido y no vale nada.
En la calculadorap → q, ¬q ⊨ ¬pUna variable o su negación, como p o ¬p.
Los literales son los átomos de las formas normales: una cláusula es una disyunción de literales y un mintérmino una conjunción de ellos. Un literal es positivo cuando la variable aparece sola y negativo cuando está negada.
En la calculadora¬pUna disyunción de literales, como p ∨ ¬q ∨ r.
Una cláusula es uno de los grupos entre paréntesis con los que se construye una forma normal conjuntiva. Como una conjunción solo es verdadera si lo son todas sus partes, una fórmula en FNC se cumple justo cuando se cumplen todas sus cláusulas.
En la calculadorap ∨ ¬q ∨ rUn O de Y: una disyunción de conjunciones de literales.
Toda fórmula tiene una forma normal disyuntiva, y puede leerse directamente en la tabla de verdad: una conjunción por cada fila verdadera, unidas con ∨. La calculadora también da una FND minimizada, que dice lo mismo con menos literales.
En la calculadora(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r)Un Y de O: una conjunción de cláusulas.
La forma normal conjuntiva se lee en las filas falsas de la tabla de verdad, una cláusula por fila. Es el formato de entrada que esperan los solucionadores SAT, lo que hace de la conversión a FNC un paso rutinario del razonamiento automático.
En la calculadora(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)Una conjunción que designa exactamente una fila de la tabla de verdad.
Un mintérmino menciona cada variable una vez, negada o no, de modo que lo satisface una única interpretación. Reunir los mintérminos de las filas verdaderas y unirlos con ∨ da la forma normal disyuntiva de la fórmula.
En la calculadorap ∧ ¬q ∧ rUna disyunción que descarta exactamente una fila de la tabla de verdad.
Un maxtérmino menciona cada variable una vez y es falso en una sola interpretación. Tomar el maxtérmino de cada fila falsa y unirlos con ∧ da la forma normal conjuntiva de la fórmula.
En la calculadorap ∨ ¬q ∨ rLa negación cambia ∧ por ∨ y ∨ por ∧: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q.
Las leyes de De Morgan empujan una negación hacia dentro a través de una conjunción o una disyunción, cambiando la conectiva por el camino. Así se lleva una fórmula hacia una forma normal y así se simplifican negaciones en el código y en los circuitos.
En la calculadora¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qNegar dos veces devuelve el original: ¬¬p ≡ p.
La doble negación vale en lógica clásica en ambas direcciones, así que ¬¬p y p siempre pueden intercambiarse. La lógica intuicionista conserva solo la dirección de p a ¬¬p, y ahí se separan ambos sistemas.
En la calculadora¬¬p ≡ pEl álgebra de dos valores, con ∧, ∨ y ¬ como operaciones.
El álgebra de Boole es la lógica proposicional escrita como aritmética sobre 0 y 1, con leyes —conmutatividad, distributividad, absorción, De Morgan— que permiten reescribir y simplificar expresiones. Es la matemática con la que se diseñan los circuitos digitales.
En la calculadora(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ pUna cuadrícula de la tabla de verdad que hace visibles las simplificaciones.
Un mapa de Karnaugh coloca las filas de modo que las celdas vecinas difieran en una variable, y los bordes se enlazan. También se escribe mapa K, K-map o kmap. Los grupos rectangulares de unos adyacentes de tamaño 1, 2, 4 u 8 se leen entonces como términos de una expresión mínima.
En la calculadora(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r)Un grupo del mapa que ya no puede agrandarse más.
Un implicante es una conjunción de literales que obliga a la fórmula a ser verdadera; es primo cuando quitarle cualquier literal dejaría de lograrlo. En un mapa de Karnaugh los implicantes primos son los rectángulos maximales de unos.
El único implicante primo que cubre un determinado uno.
Cuando un uno del mapa pertenece a un solo grupo maximal, ese grupo tiene que aparecer en todo recubrimiento mínimo, así que se toma primero. Lo que queda es la parte del recubrimiento que realmente hay que buscar.
Un elemento de circuito que calcula una conectiva sobre sus entradas.
Las puertas AND, OR, NOT, NAND, NOR y XOR son la contrapartida física de las conectivas. Una fórmula y un circuito son el mismo objeto dibujado dos veces, y por eso la calculadora puede mostrar una expresión como un diagrama de puertas.
En la calculadora(p ∧ q) ∨ ¬rUn paso autorizado de fórmulas ya obtenidas a una nueva.
Una regla de inferencia es un patrón como el modus ponens que puede aplicarse siempre que se disponga de fórmulas con la forma adecuada. Los sistemas de demostración se construyen con un puñado de ellas, elegidas para que solo se deriven conclusiones que se siguen.
De p → q y p, se infiere q.
El modus ponens es la regla básica del condicional: dado un condicional y su antecedente, se sigue el consecuente. Su validez se ve en la tabla de verdad: la única fila con ambas premisas verdaderas tiene también la conclusión verdadera.
En la calculadorap → q, p ⊨ qDe p → q y ¬q, se infiere ¬p.
El modus tollens recorre un condicional hacia atrás: si el consecuente falla, el antecedente no pudo cumplirse. Es el contrarrecíproco en acción y la forma de todo argumento que refuta una hipótesis poniendo a prueba sus predicciones.
En la calculadorap → q, ¬q ⊨ ¬pDe p → q y q → r, se infiere p → r.
El silogismo hipotético encadena condicionales, que es lo que hace posibles las derivaciones largas: cada eslabón lleva el argumento un paso más allá sin afirmar ninguna premisa.
En la calculadorap → q, q → r ⊨ p → rDe p ∨ q y ¬p, se infiere q.
El silogismo disyuntivo elimina la opción descartada: si vale una de dos alternativas y la primera no, tiene que valer la segunda. Es la regla que hay detrás del razonamiento por eliminación.
En la calculadorap ∨ q, ¬p ⊨ qDemostrar una conclusión aplicando reglas de inferencia paso a paso.
La deducción natural obtiene una conclusión a partir de premisas con reglas de introducción y eliminación para cada conectiva, permitiendo hacer supuestos temporales y descargarlos después. Demuestra lo que una tabla de verdad comprueba, pero sin recorrer todas las filas.
Supón lo contrario, deriva una contradicción y concluye lo original.
Para demostrar φ se supone ¬φ y se deriva algo de la forma ψ ∧ ¬ψ. Como ninguna interpretación hace verdadera una contradicción, el supuesto no puede sostenerse y φ se sigue. Así suelen ir las pruebas de irracionalidad e infinitud.
En la calculadorap ∧ ¬pEl paso inválido de p → q y q a p.
Un consecuente verdadero no establece el antecedente: pudo haberlo producido otra cosa. La calculadora muestra el contramodelo —p falsa, q verdadera—, que es la fila que separa esto del modus ponens.
En la calculadorap → q, q ⊨ pEl paso inválido de p → q y ¬p a ¬q.
Un condicional no dice nada sobre lo que ocurre cuando su antecedente falla, así que descartar el antecedente deja abierto el consecuente. El contramodelo es la fila en la que p es falsa y q verdadera.
En la calculadorap → q, ¬p ⊨ ¬qLógica que mira dentro de las proposiciones, a los objetos y sus propiedades.
La lógica de predicados añade predicados, términos y cuantificadores, de modo que «todo primo mayor que dos es impar» pasa a ser una fórmula y no una sola letra. Es estrictamente más expresiva que la proposicional y ninguna tabla de verdad puede decidirla.
Un símbolo que dice de cuántos objetos vale un predicado.
Los dos cuantificadores clásicos son ∀ (todos) y ∃ (al menos uno), y cada uno es la negación del otro con el cuerpo negado. La variable que liga un cuantificador es lo que distingue la lógica de predicados de la proposicional.
∀x φ: φ vale de todos los objetos del dominio.
Una afirmación universal queda refutada por un solo contraejemplo y se cumple vacuamente sobre un dominio vacío. ∀x φ equivale a ¬∃x ¬φ, que es la contrapartida de las leyes de De Morgan para cuantificadores.
∃x φ: φ vale de al menos un objeto del dominio.
Una afirmación existencial se establece exhibiendo un testigo. ∃x φ equivale a ¬∀x ¬φ, de modo que cualquiera de los dos cuantificadores puede definirse a partir del otro y de la negación.
Lógica ampliada con «necesariamente» (□) y «posiblemente» (◇).
La lógica modal evalúa las fórmulas en mundos posibles en vez de en una sola interpretación: □φ se cumple cuando φ se cumple en todos los mundos accesibles, y ◇φ cuando lo hace en alguno. Variar qué significa «accesible» da los distintos sistemas modales.
