সমাধান করা প্রমাণ
প্রতিটি পৃষ্ঠা একটি যুক্তিকে সিমান্টিক ট্যাবলো দিয়ে প্রমাণ করে: আশ্রয়বাক্যকে সত্য ও সিদ্ধান্তকে মিথ্যা ধরে নিয়ে ততক্ষণ ভাঙা হয় যতক্ষণ না প্রতিটি শাখা স্ববিরোধে পৌঁছায় বা কোনো মান নির্ধারণ টিকে যায়। সিমান্টিক ট্যাবলো কীভাবে কাজ করে →
বৈধ যুক্তি
- মোডাস পোনেন্স
p→q, p ⊨ qযদি p → q সত্য হয় এবং p সত্য হয়, তবে q আসে। মোডাস পোনেন্স সেই নিয়ম যার উপর প্রায় সব প্রমাণ দাঁড়ায়, আর নিচের ট্যাবলোর প্রতিটি শাখা বন্ধ হয়। - মোডাস টোলেন্স
p→q, ¬q ⊨ ¬pযদি p → q সত্য হয় এবং q মিথ্যা হয়, তবে p-ও মিথ্যা: যা p-কে সত্য করত, তা q-কেও সত্য করত। পরিণামের নিষেধ পূর্বগামীকে নিষেধ করে। - প্রকল্পিত ন্যায়
p→q, q→r ⊨ p→rমাঝের একটি অভিন্ন সূত্র ভাগ করা দুটি শর্তবাক্য জোড়া লাগে: p → q ও q → r থেকে p → r পাওয়া যায়। এভাবেই ছোট ছোট ধাপে দীর্ঘ যুক্তি গড়ে ওঠে। - বৈকল্পিক ন্যায়
p∨q, ¬p ⊨ qবিকল্পে অন্তত একটি দিক সত্য হতে হয়, তাই p ∨ q-এর সঙ্গে ¬p থাকলে q থাকে। একটি বিকল্প বাদ গেলে অন্যটি টিকে যায়। - গঠনমূলক দ্বিধা
p∨q, p→r, q→r ⊨ rp হোক বা q, দুই ক্ষেত্রেই r আসে — তাই r নিঃশর্তভাবে আসে। একটি বিকল্প এবং দুই দিক থেকে একটি করে শর্তবাক্য অভিন্ন সিদ্ধান্ত দেয়। - কনট্রাপজিশন
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q এবং ¬q → ¬p একই কথা বলে: পূর্বগামী সত্য অথচ পরিণাম মিথ্যা—এমন হতে পারে না। শর্তবাক্য তার বিপরীত-প্রতিবর্তের সমান। - ডি মরগানের সূত্র
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) বলে না কোন অংশটি মিথ্যা, কেবল বলে দুটি একসঙ্গে সত্য হতে পারে না — আর সেটিই ¬p ∨ ¬q। - মেটেরিয়াল ইমপ্লিকেশন
p→q ⊨ ¬p∨q¬p ∨ q যেসব সারিতে সত্য, p → q ঠিক সেসব সারিতেই সত্য: হয় পূর্বগামী মিথ্যা, নয় পরিণাম সত্য। শর্তবাক্য আসলে ছদ্মবেশী বিকল্প। - দ্বৈত নেতিকরণ
¬¬p ⊨ p¬¬p ও p একই সারিতে সত্য, তাই দ্বৈত নেতিকরণ যেখানেই থাকুক তুলে দেওয়া যায়। দুটি নেতিকরণ পরস্পরকে কাটে। - দ্বিশর্ত অপসারণ
p↔q, p ⊨ qp ↔ q-এর দুই দিক সবসময় একই সত্যমান বহন করে, তাই p থেকে q এবং q থেকে p পাওয়া যায়। দ্বিশর্ত দুই দিকেই কাজ করে। - মধ্যবর্জন সূত্র
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p প্রতিটি সারিতে সত্য এবং এর কোনো আশ্রয়বাক্যই লাগে না: প্রতিটি বচন সত্য বা মিথ্যা, তৃতীয় কিছু নেই। - বিস্ফোরণ নীতি
p, ¬p ⊨ qp ও ¬p থেকে যা খুশি আসে: কোনো মান নির্ধারণেই দুটি আশ্রয়বাক্য একসঙ্গে সত্য হয় না, তাই সেগুলো সত্য রেখে সিদ্ধান্ত মিথ্যা করাও যায় না।
অবৈধ যুক্তি
- পরিণামের সমর্থন
p→q, q ⊨ pএটি একটি হেত্বাভাস: p → q ও q থাকলেও p অনিশ্চিত থাকে, কারণ p-এর সঙ্গে সম্পর্কহীন কারণেও q সত্য হতে পারে। নিচের খোলা শাখা প্রতি-মডেল দেয়। - পূর্বগামীর নিষেধ
p→q, ¬p ⊨ ¬qএটি একটি হেত্বাভাস: p মিথ্যা হলে কী হবে, p → q তা বলে না, তাই ¬p থাকলেও q অনিশ্চিত। নিচের খোলা শাখায় p মিথ্যা অথচ q সত্য। - বিকল্পের সমর্থন
p∨q, p ⊨ ¬qএটি একটি হেত্বাভাস: p ∨ q অন্তর্ভুক্তিমূলক, তাই দুই দিকই একসঙ্গে সত্য হতে পারে। p জানলে q সম্পর্কে কিছুই জানা যায় না, যা নিচের খোলা শাখা দেখায়।