সত্যক সারণি থেকে রাশি তৈরির যন্ত্র
ফলাফলের কলামটি যেমন দরকার তেমন করে ক্লিক করুন, যন্ত্রটি সেখান থেকেই সূত্র পড়ে নেয়: প্রমিত DNF (গুণফলের যোগ), প্রমিত CNF (যোগফলের গুণ) এবং সবচেয়ে ছোট সমতুল্য রূপ। সবকিছু আপনার ব্রাউজারেই চলে, আর আপনার বানানো সারণি লিঙ্কের ভেতরেই থাকে।
| p | q | ফলাফল |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | |
| ⊤ | ⊥ | |
| ⊥ | ⊤ | |
| ⊤ | ⊤ |
সত্য (⊤) ও মিথ্যা (⊥) এর মধ্যে বদলাতে ফলাফলের মানগুলিতে ক্লিক করুন
সত্যক সারণিকে বুলিয়ান রাশিতে কীভাবে বদলাবেন
প্রতিটি সত্যক সারণিই কোনো না কোনো সূত্রের সত্যক সারণি, আর তার মধ্যে দুটি সূত্র সরাসরি সারণি থেকেই পড়ে নেওয়া যায় - বীজগণিতও লাগে না, আন্দাজও নয়:
- আপনার n চলকের জন্য পুরো 2ⁿ সারি লিখে ফেলুন এবং যেগুলির ফলাফল ⊤ সেগুলি চিহ্নিত করুন।
- প্রতিটি ⊤ সারির জন্য একটি মিনটার্ম লিখুন: সব চলক AND দিয়ে জোড়া, আর যেখানে সারিটি তাদের মিথ্যা করে সেখানে নিষেধ সহ। মিনটার্মগুলি OR দিয়ে জুড়লেই DNF।
- প্রতিটি ⊥ সারির জন্য একটি ম্যাক্সটার্ম লিখুন: সব চলক OR দিয়ে জোড়া, আর যেখানে সারিটি তাদের সত্য করে সেখানে নিষেধ সহ। ম্যাক্সটার্মগুলি AND দিয়ে জুড়লেই CNF।
- দুটি সূত্রেরই সত্যক সারণি ঠিক সেটিই যা থেকে আপনি শুরু করেছিলেন, তাই দুটিই সঠিক উত্তর। সবচেয়ে ছোটটি চাইলে পরে সরল করে নিন।
মিনটার্ম
সব চলকের একটি সংযোজন, প্রতিটি চলক নিষেধসহ বা নিষেধ ছাড়া, যা সারণির ঠিক একটি সারিতে সত্য হয়। DNF হলো যেসব সারির ফলাফল ⊤ তাদের মিনটার্মগুলির বিয়োজন - তাই প্রতিটি ⊤ সারির জন্য একটি পদ থাকে।
ম্যাক্সটার্ম
সব চলকের একটি বিয়োজন, প্রতিটি চলক নিষেধসহ বা নিষেধ ছাড়া, যা সারণির ঠিক একটি সারিতে মিথ্যা হয়। CNF হলো যেসব সারির ফলাফল ⊥ তাদের ম্যাক্সটার্মগুলির সংযোজন - তাই প্রতিটি ⊥ সারির জন্য একটি পদ থাকে।
সমাধান করা উদাহরণ: এক্সক্লুসিভ OR
উপরের সারণিটিই যন্ত্রটি খোলার সময় দেখায়: p ও q, ঠিক সেই দুই সারিতে সত্য যেখানে ইনপুট দুটি আলাদা।
- দুটি সারি ⊤, তাই DNF-এ দুটি মিনটার্ম: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
- বাকি দুটি সারি ⊥, তাই CNF-এ দুটি ম্যাক্সটার্ম: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
কোনোটিকেই ছোট করা যায় না - এক্সক্লুসিভ OR-এর সত্যিই দুটি পদই দরকার - আর এটি একবার দেখে নেওয়া ভালো: প্রমিত রূপ সবসময় লম্বা পথ নয়। «p, q, r এর মধ্যে বড়জোর একটি» ধরনের সারণিতেই ন্যূনতম রূপ অনেক এগিয়ে যায়।
বুলিয়ান সংশ্লেষ বোঝা
বিয়োজক প্রমিত রূপ (DNF)
DNF একটি সূত্রকে AND-গুলির OR হিসেবে লেখে (গুণফলের যোগ)। যেসব সারিতে ফলাফল সত্য, তার প্রতিটির জন্য একটি মিনটার্ম বানানো হয়, যেখানে সব চলক AND দিয়ে জোড়া হয় আর মিথ্যা চলকগুলিতে নিষেধ বসে। এরপর মিনটার্মগুলি OR দিয়ে জুড়ে পুরো রাশি তৈরি হয়।
সংযোজক প্রমিত রূপ (CNF)
CNF একটি সূত্রকে OR-গুলির AND হিসেবে লেখে (যোগফলের গুণ)। যেসব সারিতে ফলাফল মিথ্যা, তার প্রতিটির জন্য একটি ম্যাক্সটার্ম বানানো হয়, যেখানে সব চলক OR দিয়ে জোড়া হয় আর সত্য চলকগুলিতে নিষেধ বসে। এরপর ম্যাক্সটার্মগুলি AND দিয়ে জুড়ে পুরো রাশি তৈরি হয়।
DNF ও CNF এর তুলনা
| দিক | বিয়োজক প্রমিত রূপ (গুণফলের যোগ) | সংযোজক প্রমিত রূপ (যোগফলের গুণ) |
|---|---|---|
| কী থেকে তৈরি | যেসব সারির ফলাফল ⊤, প্রতিটি থেকে একটি মিনটার্ম | যেসব সারির ফলাফল ⊥, প্রতিটি থেকে একটি ম্যাক্সটার্ম |
| গঠন | সংযোজনের বিয়োজন: AND-গুলির OR | বিয়োজনের সংযোজন: OR-গুলির AND |
| কখন বেছে নেবেন | সূত্রটিকে সত্য করে এমন ক্ষেত্রগুলি তালিকাভুক্ত করতে চান, কিংবা AND-OR বর্তনী সাজাতে চান | একসঙ্গে মানতে হবে এমন শর্তগুলি চান, কিংবা SAT সলভার যে ক্লজ রূপ চায় সেটি চান |
সারণি কত বড় হয়?
n চলকের ফাংশনের 2ⁿ সারি থাকে, তাই প্রতিটি নতুন চলকে সারণি দ্বিগুণ হয়: দুই চলকে 4 সারি, তিনে 8, চারে 16 এবং পাঁচে 32 - এই যন্ত্র সেখানেই থামে। DNF প্রতিটি ⊤ সারির জন্য একটি পদ নেয় আর CNF প্রতিটি ⊥ সারির জন্য একটি, তাই দুটি মিলে প্রতিটি সারিকে ঠিক একবার করে ধরে - আর দুটির একটি সবসময়ই ছোট শুরু।
সত্যক সারণি সংশ্লেষের ব্যবহার
সত্যক সারণিকে যৌক্তিক রাশিতে বদলানো কম্পিউটার বিজ্ঞান ও ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের একটি মৌলিক কৌশল। এই যন্ত্রটি সাহায্য করে:
- ডিজিটাল বর্তনী নকশা - কাঙ্ক্ষিত ইনপুট-আউটপুট আচরণ থেকে লজিক গেটের বুলিয়ান সমীকরণ বের করা
- সফটওয়্যার উন্নয়ন - স্পেসিফিকেশন সারণি থেকে শর্তনির্ভর যুক্তি তৈরি করা
- পড়াশোনা - বুলিয়ান বীজগণিত ও প্রতিজ্ঞা যুক্তিবিদ্যা শেখা ও অনুশীলন করা
- যুক্তি সরলীকরণ - সহজতর সমতুল্য রাশি খুঁজতে DNF ও CNF তুলনা করা
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
লজিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার নিয়ে সাধারণ প্রশ্নের উত্তর
সত্যক সারণি থেকে রাশিমালা বানানোর সরঞ্জামটি কী করে?
এটি ক্যালকুলেটরকে উল্টো দিকে চালায়। প্রতিটি সারিতে ক্লিক করে আপনি সত্যক সারণির ফলাফল কলামটি ঠিক করেন, আর এটি ঠিক সেই সত্যক সারণিসম্পন্ন একটি সূত্র বানিয়ে দেয় — বিয়োজক প্রমিত রূপে (AND-গুলির OR) কিংবা সংযোজক প্রমিত রূপে (OR-গুলির AND)।
DNF আর CNF-এর মধ্যে পার্থক্য কী?
DNF হলো গুণফলের যোগফল: যেসব সারিতে ফল সত্য, তার প্রতিটির জন্য একটি সংযোজন, সবগুলিকে OR দিয়ে জোড়া। CNF হলো যোগফলের গুণফল: যেসব সারিতে ফল মিথ্যা, তার প্রতিটির জন্য একটি বিয়োজন, সবগুলিকে AND দিয়ে জোড়া। দুটিই একই ফাংশন বোঝায়, তাই আপনার সারণির জন্য যেটি ছোট হয় সেটিই নিন — বেশিরভাগ মিথ্যা কলামে DNF ছোট হয়, বেশিরভাগ সত্য কলামে CNF।
সংশ্লেষণ সরঞ্জাম কতগুলি চলক নিতে পারে?
সর্বোচ্চ পাঁচটি, অর্থাৎ ৩২ সারির একটি সারণি। প্রতিটি নতুন চলক সারির সংখ্যা দ্বিগুণ করে, আর পাঁচের বেশি হলে সারণিটি হাতে বসানোর মতো আর থাকে না।
তৈরি হওয়া রাশিমালাটি এত লম্বা কেন?
প্রমিত রূপ সারি ধরে ধরে গড়া হয়: যত সারি ঢাকতে হবে, প্রতিটির জন্য পুরো প্রস্থের একটি পদ। তাই এর দৈর্ঘ্য সূত্রের পেছনের ভাবনার নয়, সত্যক সারণির অনুগামী। গঠনগতভাবে এটি নির্ভুল, সংক্ষিপ্ত নয়। ছোট করতে চাইলে ক্যালকুলেটরে খুলুন, সেখানে সমতুল্য রূপের তালিকা থাকে — যার মধ্যে একটি ন্যূনতমকৃত DNF-ও আছে।
কোনো সূত্রের সরলীকৃত রূপ পাওয়া যায়?
হ্যাঁ। সেটি ক্যালকুলেটরে লিখুন এবং সত্যক সারণির নিচের সমতুল্য রূপগুলি দেখুন। সেখানে বীজগাণিতিক নিয়মে পুনর্লিখনে পাওয়া রূপ যেমন আছে, তেমনি সত্যক সারণি থেকে পড়া DNF ও CNF এবং একটি ন্যূনতমকৃত DNF-ও আছে।