ক্যালকুলেটর, নির্দেশিকা ও অনুশীলনী যেসব পরিভাষা ব্যবহার করে, সবগুলোর সংজ্ঞা এক জায়গায়।
একটি পরিভাষা খুঁজুন, তার সংকেত দেখুন এবং উদাহরণটি ক্যালকুলেটরে খুলে কাজ করতে দেখুন। এখানে সংজ্ঞায়িত পরিভাষাগুলো কোনো নির্দেশিকায় প্রথমবার এলে চিহ্নিত হয়ে যায়।
সব 62টি পরিভাষা
কোন অনুমান থেকে কোন সিদ্ধান্ত সত্যিই আসে, তার অধ্যয়ন।
যুক্তিবিদ্যা যুক্তির বিষয়বস্তু নয়, আকার নিয়ে কাজ করে। আকারগত যুক্তিবিদ্যা বাক্যের বদলে সংকেত বসায়, ফলে সিদ্ধান্ত আসে কি না তা কেবল যুক্তির গঠন দেখেই স্থির করা যায় এবং যান্ত্রিকভাবে যাচাই করা যায়।
যে বিবৃতি সত্য অথবা মিথ্যা, দুটোই নয়।
প্রতিজ্ঞা এমন একটি বিবৃতিমূলক বাক্য যার ঠিক একটি সত্যমান আছে। “বৃষ্টি পড়ছে” প্রতিজ্ঞা; প্রশ্ন বা আদেশ নয়, কারণ সেখানে সত্য বা মিথ্যা হওয়ার মতো কিছু নেই।
প্রতিজ্ঞা যে দুটি মান নিতে পারে তার একটি: সত্য বা মিথ্যা।
প্রথাগত যুক্তিবিদ্যা প্রতিটি প্রতিজ্ঞাকে ঠিক একটি সত্যমান দেয়, লেখা হয় ⊤ ও ⊥ (কিংবা ১ ও ০)। সত্যসারণির প্রতিটি সারি চলকগুলোর একটি মাননির্ধারণ, আর সেখানে সূত্রটি যে মান নেয় তাও।
যার ভিতরে কোনো সংযোজক নেই এমন প্রতিজ্ঞা।
মৌলিক প্রতিজ্ঞাকে ছোট প্রতিজ্ঞায় ভাঙা যায় না: তাতে নঞর্থক, সংযোজন বা অন্য কোনো সংযোজক নেই। বাকি সবই যৌগিক, মৌলিক প্রতিজ্ঞা থেকে গড়া, আর তাদের সত্যমানেই এর সত্যমান নির্ধারিত হয়।
p বা A-এর মতো বর্ণ, যা যেকোনো প্রতিজ্ঞার প্রতিনিধি।
প্রতিজ্ঞা চলক যেকোনো প্রতিজ্ঞার জন্য ফাঁকা জায়গা। ক্যালকুলেটর একক বর্ণকে চলক হিসেবে নেয় এবং প্রত্যেকটির জন্য সত্যসারণিতে একটি স্তম্ভ রাখে, আর মানের প্রতিটি সম্ভাব্য সমন্বয়ের জন্য একটি সারি।
ক্যালকুলেটরেp → qভাষার ব্যাকরণ সত্যিই যে সংকেত-শৃঙ্খলকে অনুমোদন করে।
সুগঠিত সূত্র নিয়ম মেনে তৈরি হয়: চলক নিজেই একটি, আর ছোট সূত্রগুলোকে সংযোজক দিয়ে জুড়ে বানানো সূত্রও তাই। “p ∧ ∨ q” নয়, তাই ক্যালকুলেটর আন্দাজ না করে ত্রুটি জানায়।
সূত্রের সব চলকে সত্যমান বসানোর একটি নির্দিষ্ট উপায়।
ব্যাখ্যা বলে দেয় প্রতিটি চলকের মান কী, আর তাতেই গোটা সূত্রের মান স্থির হয়। n চলকের সূত্রের ২ⁿটি ব্যাখ্যা থাকে — ঠিক তার সত্যসারণির সারিগুলোই।
কোনো সিদ্ধান্তের সমর্থনে দেওয়া আশ্রয়বাক্যের সমষ্টি।
যুক্তি দাবি করে যে তার সিদ্ধান্ত আশ্রয়বাক্য থেকে আসে। ক্যালকুলেটরে অনুসিদ্ধান্ত-চিহ্ন দিয়ে লিখুন — আগে আশ্রয়বাক্য, পরে সিদ্ধান্ত — তখন প্রতিটি সারি দেখা হবে, আশ্রয়বাক্য সত্য অথচ সিদ্ধান্ত মিথ্যা এমন কিছু আছে কি না।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qসিদ্ধান্তে পৌঁছাতে যুক্তি যে বিবৃতি ধরে নেয়।
আশ্রয়বাক্য যুক্তির শুরুর বিন্দু। বৈধতা কেবল জানতে চায়, যেখানে সব আশ্রয়বাক্য সত্য সেখানে সিদ্ধান্তও সত্য কি না; সেগুলো আদৌ সত্য কি না তা আলাদা প্রশ্ন, আর সেটিই সুদৃঢ়তা যোগ করে।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qযুক্তি যে বিবৃতি প্রতিষ্ঠা করতে চায়।
সিদ্ধান্ত সেটাই যার সমর্থনে আশ্রয়বাক্য দেওয়া হয়। ক্যালকুলেটরে এটি অনুসিদ্ধান্ত-চিহ্নের পরের রাশি, আর কোনো ব্যাখ্যাই আশ্রয়বাক্যকে সত্য রেখে সিদ্ধান্তকে মিথ্যা না করলে যুক্তিটি বৈধ।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qযে সংকেত সরল প্রতিজ্ঞা থেকে যৌগিক প্রতিজ্ঞা গড়ে।
¬, ∧, ∨, → বা ↔-এর মতো সংযোজক প্রতিজ্ঞাগুলোকে জুড়ে বড় প্রতিজ্ঞা বানায়, যার সত্যমান কেবল অংশগুলোর সত্যমানের উপর নির্ভর করে। সত্যসারণি ঠিক সেই নির্ভরতাই লিপিবদ্ধ করে, প্রতিটি ইনপুট-সমন্বয়ের জন্য এক সারি।
সত্যমান উল্টে দেয়: p মিথ্যা হলেই ¬p সত্য।
নঞর্থক প্রতিজ্ঞা যুক্তির একমাত্র এক-পদী সংযোজক। ¬p, ~p বা !p লেখা হয়; এটি সত্যকে মিথ্যা আর মিথ্যাকে সত্য করে, তাই দুবার নঞর্থক করলে মূল প্রতিজ্ঞাই ফিরে আসে।
ক্যালকুলেটরে¬pদুই অংশই সত্য হলে তবেই সত্য: p ∧ q।
সংযোজন তার দুটি অংশকেই দাবি করে। সত্যসারণির ঠিক এক সারিতেই এটি সত্য — যেখানে দুটি অংশই সত্য — তাই দুই-পদী সংযোজকগুলোর মধ্যে এটি সবচেয়ে কড়া।
ক্যালকুলেটরেp ∧ qঅন্তত এক অংশ সত্য হলেই সত্য: p ∨ q।
যুক্তিবিদ্যায় বিয়োজন অন্তর্ভুক্তিমূলক: p সত্য হলে, q সত্য হলে এবং দুটোই সত্য হলে p ∨ q সত্য। “অথবা”-র বর্জনমূলক অর্থ, যা কেবল অংশ দুটি আলাদা হলে সত্য, সেটি স্বতন্ত্র সংযোজক।
ক্যালকুলেটরেp ∨ qদুই প্রতিজ্ঞার ঠিক একটি সত্য হলে সত্য।
⊕ বা XOR চিহ্নে লেখা বর্জনমূলক বিয়োজন অংশ দুটি আলাদা হলে সত্য, মিলে গেলে মিথ্যা। এটি দ্বি-শর্তের নঞর্থক এবং একে (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) রূপেও লেখা যায়।
ক্যালকুলেটরে(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)p → q, কেবল p সত্য ও q মিথ্যা হলে মিথ্যা।
বস্তুগত শর্তবাক্য এর বেশি কিছু বলে না যে “পূর্বপদ সত্য অথচ উত্তরপদ মিথ্যা—এমন নয়”, তাই পূর্বপদ মিথ্যা হলেই এটি আপনা থেকে সত্য। এ কারণেই p → q, ¬p ∨ q-এর সমতুল্য।
ক্যালকুলেটরেp → qp ↔ q, দুই অংশের সত্যমান এক হলে সত্য।
দ্বি-শর্ত প্রতিটি পক্ষকে অন্যটির শর্তে দাবি করে: দুটি অংশ সত্য হলে এবং দুটিই মিথ্যা হলে এটি সত্য। যে দ্বি-শর্ত পুনরুক্তি, সেটিই ঠিক একটি যৌক্তিক সমতুল্যতার বিবৃতি।
ক্যালকুলেটরেp ↔ qশর্তবাক্যের “যদি” অংশ — p → q-এর p।
পূর্বপদ সেই শর্ত যার উপর শর্তবাক্য নির্ভর করে। এটি মিথ্যা হলে উত্তরপদ যা-ই হোক গোটা শর্তবাক্য সত্য থাকে, আর → -এর সারণির বেশির ভাগ বিস্ময় এখান থেকেই আসে।
ক্যালকুলেটরেp → qশর্তবাক্যের “তবে” অংশ — p → q-এর q।
উত্তরপদ সেটাই, যা পূর্বপদ সত্য হলে ঘটবে বলে শর্তবাক্য দাবি করে। উত্তরপদ সত্য হলে শর্তবাক্য সত্য হয়, কিন্তু পূর্বপদ সত্য হয় না: তেমন অনুমান করা আকারগত হেত্বাভাস।
ক্যালকুলেটরেp → qদুই অংশ অদলবদল করা শর্তবাক্য: q → p।
p → q-এর বিপরীত হলো q → p, আর দুটি সমতুল্য নয়: ক্যালকুলেটর এমন সারি খুঁজে পায় যেখানে একটি সত্য অন্যটি মিথ্যা। দুটিকে বিনিময়যোগ্য ভাবা মানেই উত্তরপদ-স্বীকরণ।
ক্যালকুলেটরেq → p¬q → ¬p, যার সত্যমান সর্বদা p → q-এর মতোই।
প্রতিবিপরীত শর্তবাক্যের দুই অংশকেই নঞর্থক করে অদলবদল করে। বিপরীতের বিপরীতে এটি মূলটির সত্যিকারের সমতুল্য, আর সে কারণেই গণিতে প্রতিবিপরীত দিয়ে প্রমাণ বৈধ।
ক্যালকুলেটরে(p → q) ≡ (¬q → ¬p)সংযোজনের নঞর্থক: দুই ইনপুটই সত্য না হলে সত্য।
↑ চিহ্নে লেখা NAND হলো ¬(p ∧ q)। এটি ক্রিয়াগতভাবে সম্পূর্ণ: অন্য যেকোনো সংযোজক কেবল NAND দিয়েই গড়া যায়, তাই এটি ডিজিটাল বর্তনী নকশার প্রধান ভরসা।
ক্যালকুলেটরে¬(p ∧ q)বিয়োজনের নঞর্থক: দুই ইনপুটই মিথ্যা হলে তবেই সত্য।
↓ চিহ্নে লেখা NOR হলো ¬(p ∨ q)। NAND-এর মতো এটিও একাই ক্রিয়াগতভাবে সম্পূর্ণ, তাই কোনো বর্তনী পুরোপুরি NOR গেট দিয়েই বানানো যায়।
ক্যালকুলেটরে¬(p ∨ q)বন্ধনী না থাকলে কোন সংযোজক আগে কাজ করে।
সবচেয়ে জোরে বাঁধে নঞর্থক, তারপর সংযোজন, বিয়োজন, শর্তবাক্য এবং শেষে দ্বি-শর্ত। তাই ¬p ∧ q ∨ r পড়া হয় ((¬p) ∧ q) ∨ r; অভিপ্রেত অর্থ আলাদা হলে বন্ধনী এই ক্রম বদলে দেয়।
ক্যালকুলেটরে¬p ∧ q ∨ rপ্রতিটি মাননির্ধারণের জন্য এক সারি, সঙ্গে সূত্রের মান।
সত্যসারণি কোনো সূত্রের n চলকের সবগুলো ২ⁿ ব্যাখ্যা সাজায় এবং প্রতিটিতে সূত্রের মান বের করে। নিঃশেষ বলে এটি প্রতিজ্ঞা যুক্তির সব অর্থগত প্রশ্নের মীমাংসা করে: সমতুল্যতা, বৈধতা, পূরণযোগ্যতা ও বাকি সব।
ক্যালকুলেটরেp → qযে সূত্র প্রতিটি ব্যাখ্যাতেই সত্য।
পুনরুক্তি তার সত্যসারণির প্রতিটি সারিতেই সত্য, তাই জগৎ সম্পর্কে কিছুই বলে না: p যা-ই হোক p ∨ ¬p সত্য। দুটি সূত্র ঠিক তখনই সমতুল্য, যখন তাদের মধ্যকার দ্বি-শর্তটি পুনরুক্তি।
ক্যালকুলেটরেp ∨ ¬pযে সূত্র প্রতিটি ব্যাখ্যাতেই মিথ্যা।
p ∧ ¬p-এর মতো স্ববিরোধ সত্যসারণির প্রতিটি সারিতেই মিথ্যা। একগুচ্ছ অনুমান থেকে স্ববিরোধ বের করা দেখায় যে অনুমানগুলো সব একসঙ্গে টিকতে পারে না — স্ববিরোধ-প্রমাণের চালিকাশক্তি এটাই।
ক্যালকুলেটরেp ∧ ¬pকিছু ব্যাখ্যায় সত্য, কিছুতে মিথ্যা এমন সূত্র।
আপতিক সূত্র পুনরুক্তিও নয়, স্ববিরোধও নয়: তার সত্যসারণিতে অন্তত একটি সত্য ও অন্তত একটি মিথ্যা সারি থাকে। মানুষ যেসব সূত্র লেখে তার বেশির ভাগই আপতিক, আর সেজন্যই সেগুলো তথ্যবহ।
ক্যালকুলেটরেp ∧ qকোনো ব্যাখ্যা সূত্রটিকে সত্য করে কি না।
সত্যসারণির অন্তত একটি সারি সত্য হলে সূত্রটি পূরণযোগ্য, আর সেই সারিটিই তার একটি নিদর্শ। পূরণযোগ্যতা নির্ণয় SAT সমাধানকারীর কেন্দ্রীয় সমস্যা এবং তার মাধ্যমে স্বয়ংক্রিয় যুক্তিচর্চারও।
ক্যালকুলেটরেp ∧ (p → q)যাদের সত্যসারণি অবিকল এক, এমন দুটি সূত্র।
সমতুল্য সূত্র প্রতিটি ব্যাখ্যাতেই মিলে যায়, তাই একটিকে অন্যটির জায়গায় সর্বত্র বসানো যায়, অর্থ বদলায় না। দুই রাশির মাঝে সমান চিহ্ন দিন, ক্যালকুলেটর তাদের স্তম্ভ সারি ধরে ধরে মিলিয়ে দেবে।
ক্যালকুলেটরে(p → q) ≡ (¬p ∨ q)যেখানে আশ্রয়বাক্য সত্য, সেই প্রতিটি ব্যাখ্যাতেই সিদ্ধান্ত সত্য।
Γ ⊨ φ লেখা যৌক্তিক অনুসিদ্ধান্তই বৈধ যুক্তির দাবি। যাচাই হয় প্রতিউদাহরণ খুঁজে: এমন ব্যাখ্যা যা সব আশ্রয়বাক্য সত্য ও সিদ্ধান্ত মিথ্যা করে। তেমন কিছু না থাকলে অনুসিদ্ধান্ত টেকে।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qকোনো ব্যাখ্যাই আশ্রয়বাক্য সত্য রেখে সিদ্ধান্ত মিথ্যা করে না।
বৈধতা তথ্যের নয়, যুক্তির আকারের ধর্ম: বৈধ যুক্তির আশ্রয়বাক্য ও সিদ্ধান্ত দুটোই মিথ্যা হতে পারে। যা হতে পারে না তা হলো সত্য আশ্রয়বাক্যের পাশে মিথ্যা সিদ্ধান্ত।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qযে বৈধ যুক্তির আশ্রয়বাক্যগুলোও সত্য।
সুদৃঢ়তা আকারগত দাবির সঙ্গে তথ্যগত দাবি যোগ করে: যুক্তিটি বৈধ এবং তার আশ্রয়বাক্য সত্য। প্রথম অর্ধেক যুক্তিবিদ্যাই মীমাংসা করে; দ্বিতীয়টি যে বিষয় নিয়ে যুক্তি, তার।
যে ব্যাখ্যা আশ্রয়বাক্য সত্য ও সিদ্ধান্ত মিথ্যা করে।
প্রতিনিদর্শ প্রমাণ করে যুক্তিটি অবৈধ — একটি সারিই যথেষ্ট। ক্যালকুলেটর যে সারিটি পায় তা দেখিয়ে দেয়, ফলে “এটা আসে না” কথাটি হাতে যাচাই করার মতো নির্দিষ্ট মাননির্ধারণে পরিণত হয়।
ক্যালকুলেটরেp → q ⊨ q → pকোনো ব্যাখ্যা সমষ্টির সব বিবৃতিকে একসঙ্গে সত্য করে।
আশ্রয়বাক্যের সমষ্টি তখনই সঙ্গত, যখন সেগুলো একসঙ্গে টিকতে পারে। অসঙ্গত আশ্রয়বাক্য থেকে যা খুশি আসে, তাই তার উপর দাঁড়ানো যুক্তি কারিগরি অর্থে বৈধ হলেও মূল্যহীন।
ক্যালকুলেটরেp → q, ¬q ⊨ ¬pএকটি চলক বা তার নঞর্থক, যেমন p বা ¬p।
লিটারেল প্রমিত রূপের পরমাণু: ধারা হলো লিটারেলের বিয়োজন আর ক্ষুদ্রপদ তাদের সংযোজন। চলক নঞর্থক ছাড়া থাকলে লিটারেল ধনাত্মক, নঞর্থক থাকলে ঋণাত্মক।
ক্যালকুলেটরে¬pলিটারেলের বিয়োজন, যেমন p ∨ ¬q ∨ r।
ধারা হলো সেই বন্ধনী-গুচ্ছগুলোর একটি, যা দিয়ে সংযোজক প্রমিত রূপ গড়া হয়। সংযোজন কেবল প্রতিটি অংশ সত্য হলেই সত্য, তাই CNF সূত্র ঠিক তখনই টেকে যখন তার সব ধারা টেকে।
ক্যালকুলেটরেp ∨ ¬q ∨ rAND-এর OR: লিটারেল-সংযোজনগুলোর বিয়োজন।
প্রতিটি সূত্রেরই একটি বিয়োজক প্রমিত রূপ আছে, আর তা সরাসরি সত্যসারণি থেকে পড়া যায়: প্রতিটি সত্য সারির জন্য এক সংযোজন, সবগুলো ∨ দিয়ে জোড়া। ক্যালকুলেটর সংক্ষিপ্ততম DNF-ও দেয়, যা কম লিটারেলে একই কথা বলে।
ক্যালকুলেটরে(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r)OR-এর AND: ধারাগুলোর সংযোজন।
সংযোজক প্রমিত রূপ সত্যসারণির মিথ্যা সারিগুলো থেকে পড়া হয়, প্রতি সারিতে এক ধারা। SAT সমাধানকারীরা এই ইনপুট রূপই আশা করে, তাই CNF-এ রূপান্তর স্বয়ংক্রিয় যুক্তিচর্চার নিত্যকর্ম।
ক্যালকুলেটরে(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)যে সংযোজন সত্যসারণির ঠিক একটি সারিকে নির্দেশ করে।
ক্ষুদ্রপদ প্রতিটি চলককে একবার করে রাখে, নঞর্থকসহ বা ছাড়া, ফলে ঠিক একটি ব্যাখ্যাই তাকে পূরণ করে। সত্য সারিগুলোর ক্ষুদ্রপদ জড়ো করে ∨ দিয়ে জুড়লে সূত্রের বিয়োজক প্রমিত রূপ মেলে।
ক্যালকুলেটরেp ∧ ¬q ∧ rযে বিয়োজন সত্যসারণির ঠিক একটি সারিকে বাদ দেয়।
বৃহৎপদ প্রতিটি চলককে একবার করে রাখে এবং কেবল একটি ব্যাখ্যাতেই মিথ্যা হয়। প্রতিটি মিথ্যা সারির বৃহৎপদ নিয়ে ∧ দিয়ে জুড়লে সূত্রের সংযোজক প্রমিত রূপ মেলে।
ক্যালকুলেটরেp ∨ ¬q ∨ rনঞর্থক ∧-কে ∨ আর ∨-কে ∧ করে: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q।
দ্য মরগানের সূত্র নঞর্থককে সংযোজন বা বিয়োজনের ভিতরে ঠেলে দেয় এবং পথে সংযোজক উল্টে দেয়। এভাবেই সূত্রকে প্রমিত রূপের দিকে নেওয়া হয়, আর কোড ও বর্তনীতে নঞর্থক সরল করা হয়।
ক্যালকুলেটরে¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qদুবার নঞর্থক করলে মূলটাই ফেরে: ¬¬p ≡ p।
প্রথাগত যুক্তিবিদ্যায় দ্বৈত নঞর্থক দুই দিকেই খাটে, তাই ¬¬p আর p সর্বদা বিনিময়যোগ্য। স্বজ্ঞাবাদী যুক্তিবিদ্যা কেবল p থেকে ¬¬p-এর দিকটাই রাখে, আর সেখানেই দুই ব্যবস্থার পথ আলাদা হয়।
ক্যালকুলেটরে¬¬p ≡ pদুই মানের বীজগণিত, যার ক্রিয়া ∧, ∨ ও ¬।
বুলীয় বীজগণিত হলো ০ ও ১-এর উপর পাটিগণিত হিসেবে লেখা প্রতিজ্ঞা যুক্তি, যার বিনিময়, বণ্টন, শোষণ ও দ্য মরগানের সূত্র রাশিকে নতুন করে লিখতে ও সরল করতে দেয়। ডিজিটাল বর্তনী এই গণিতেই নকশা করা হয়।
ক্যালকুলেটরে(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ pসত্যসারণির এমন ছক, যেখানে সরলীকরণ চোখে পড়ে।
কার্নো মানচিত্র সারিগুলো এমনভাবে সাজায় যাতে পাশাপাশি ঘরে কেবল একটি চলক আলাদা হয়, আর প্রান্তগুলো পরস্পরে মিশে যায়। একে কে-ম্যাপ, K-map বা kmap-ও লেখা হয়। পাশাপাশি ১-এর ১, ২, ৪ বা ৮ আকারের আয়তাকার গুচ্ছ সরাসরি সরলতম রাশির পদ হিসেবে পড়া যায়।
ক্যালকুলেটরে(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r)মানচিত্রে এমন গুচ্ছ যাকে আর বড় করা যায় না।
অন্তর্ভাবক হলো লিটারেলের এমন সংযোজন যা সূত্রকে সত্য হতে বাধ্য করে; কোনো লিটারেল বাদ দিলে সেটি আর হয় না বলেই তা মুখ্য। কার্নো মানচিত্রে মুখ্য অন্তর্ভাবক হলো ১-এর সর্বোচ্চ আয়তক্ষেত্র।
কোনো নির্দিষ্ট ১-কে ঢাকা একমাত্র মুখ্য অন্তর্ভাবক।
মানচিত্রের কোনো ১ যদি কেবল একটিই সর্বোচ্চ গুচ্ছে পড়ে, তবে সেই গুচ্ছ প্রতিটি ন্যূনতম আচ্ছাদনে থাকতেই হবে, তাই তাকে আগে নেওয়া হয়। যা বাকি থাকে, সেটাই সত্যিকারের খোঁজার অংশ।
বর্তনীর যে অংশ ইনপুটে একটি সংযোজক হিসাব করে।
AND, OR, NOT, NAND, NOR ও XOR গেট হলো সংযোজকের যান্ত্রিক প্রতিরূপ। সূত্র ও বর্তনী একই বস্তুর দুই আঁকা, তাই ক্যালকুলেটর কোনো রাশিকে গেট-নকশা হিসেবে দেখাতে পারে।
ক্যালকুলেটরে(p ∧ q) ∨ ¬rআগে পাওয়া সূত্র থেকে নতুন সূত্রে যাওয়ার অনুমোদিত ধাপ।
অনুমান নিয়ম হলো মডুস পোনেন্সের মতো এক নকশা, যা যথাযথ আকারের সূত্র হাতে থাকলেই প্রয়োগ করা যায়। প্রমাণ-ব্যবস্থা এমন গুটিকয় নিয়মে গড়া, যেগুলো এমনভাবে বাছা যাতে কেবল অনুসৃত সিদ্ধান্তই বের করা যায়।
p → q ও p থেকে q আসে।
মডুস পোনেন্স শর্তবাক্যের মূল নিয়ম: শর্তবাক্য ও তার পূর্বপদ থাকলে উত্তরপদ আসে। বৈধতা সত্যসারণিতেই দেখা যায় — যে একমাত্র সারিতে দুটি আশ্রয়বাক্যই সত্য, সেখানে সিদ্ধান্তও সত্য।
ক্যালকুলেটরেp → q, p ⊨ qp → q ও ¬q থেকে ¬p আসে।
মডুস টোলেন্স শর্তবাক্যকে উল্টো দিক থেকে চলে: উত্তরপদ না টিকলে পূর্বপদও টিকতে পারত না। এটি প্রতিবিপরীতেরই কাজ, আর ভবিষ্যদ্বাণী যাচাই করে অনুমান খণ্ডনকারী প্রতিটি যুক্তির আকারও এটাই।
ক্যালকুলেটরেp → q, ¬q ⊨ ¬pp → q ও q → r থেকে p → r আসে।
প্রাকল্পিক ন্যায় শর্তবাক্যগুলোকে শৃঙ্খলে জোড়ে, আর তাতেই দীর্ঘ নিষ্পত্তি সম্ভব হয়: প্রতিটি কড়ি কোনো আশ্রয়বাক্য দাবি না করেই যুক্তিকে এক ধাপ এগিয়ে নেয়।
ক্যালকুলেটরেp → q, q → r ⊨ p → rp ∨ q ও ¬p থেকে q আসে।
বৈকল্পিক ন্যায় বাদ পড়া বিকল্পটি সরিয়ে দেয়: দুটির একটি সত্য আর প্রথমটি না হলে দ্বিতীয়টিই সত্য হতে হবে। বর্জনের মাধ্যমে যুক্তি সাজানোর পেছনে এই নিয়মই আছে।
ক্যালকুলেটরেp ∨ q, ¬p ⊨ qধাপে ধাপে অনুমান নিয়ম প্রয়োগ করে সিদ্ধান্ত প্রমাণ করা।
স্বাভাবিক নিগমন প্রতিটি সংযোজকের প্রবেশ ও অপসারণ নিয়ম দিয়ে আশ্রয়বাক্য থেকে সিদ্ধান্ত টানে, সাময়িক অনুমান রাখতে দেয় এবং পরে তা মুক্ত করে। সত্যসারণি যা যাচাই করে তা-ই এটি প্রমাণ করে, তবে প্রতিটি সারি না ঘেঁটেই।
উল্টোটা ধরে নিন, স্ববিরোধ বের করুন, মূল দাবিটি প্রতিষ্ঠা করুন।
φ প্রমাণ করতে ¬φ ধরে নিয়ে ψ ∧ ¬ψ আকারের কিছু বের করা হয়। কোনো ব্যাখ্যাই স্ববিরোধকে সত্য করে না, তাই অনুমানটি টেকে না এবং φ আসে। অমূলদতা ও অসীমতার প্রমাণ সাধারণত এভাবেই চলে।
ক্যালকুলেটরেp ∧ ¬pp → q ও q থেকে p-তে যাওয়ার অবৈধ ধাপ।
উত্তরপদ সত্য হলেই পূর্বপদ প্রতিষ্ঠিত হয় না: অন্য কিছুও তা ঘটাতে পারত। ক্যালকুলেটর প্রতিনিদর্শ দেখায় — p মিথ্যা, q সত্য — এই সারিটিই একে মডুস পোনেন্স থেকে আলাদা করে।
ক্যালকুলেটরেp → q, q ⊨ pp → q ও ¬p থেকে ¬q-তে যাওয়ার অবৈধ ধাপ।
পূর্বপদ মিথ্যা হলে কী ঘটে সে বিষয়ে শর্তবাক্য কিছুই বলে না, তাই পূর্বপদ বাতিল করলেও উত্তরপদ খোলা থাকে। প্রতিনিদর্শ হলো সেই সারি যেখানে p মিথ্যা আর q সত্য।
ক্যালকুলেটরেp → q, ¬p ⊨ ¬qপ্রতিজ্ঞার ভিতরে বস্তু ও তাদের ধর্মের দিকে তাকানো যুক্তিবিদ্যা।
বিধেয় যুক্তিবিদ্যা বিধেয়, পদ ও পরিমাণক যোগ করে, ফলে “দুইয়ের চেয়ে বড় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা বিজোড়” একটি বর্ণ নয়, একটি সূত্র হয়ে ওঠে। এটি প্রতিজ্ঞা যুক্তির চেয়ে কড়াভাবে বেশি প্রকাশক্ষম, আর কোনো সত্যসারণি একে নিষ্পত্তি করতে পারে না।
বিধেয় কতগুলো বস্তুর ক্ষেত্রে খাটে তা বলার সংকেত।
দুই প্রথাগত পরিমাণক হলো ∀ (সব) ও ∃ (অন্তত একটি), আর প্রত্যেকটি অন্যটির নঞর্থক যার ভিতরটাও নঞর্থক। পরিমাণক যে চলককে বাঁধে, সেটাই বিধেয় যুক্তিকে প্রতিজ্ঞা যুক্তি থেকে আলাদা করে।
∀x φ: পরিসরের প্রতিটি বস্তুর ক্ষেত্রেই φ খাটে।
সার্বিক দাবি একটিমাত্র প্রতিউদাহরণেই খণ্ডিত হয় এবং শূন্য পরিসরে শূন্যগর্ভভাবে সত্য থাকে। ∀x φ, ¬∃x ¬φ-এর সমতুল্য — পরিমাণকের ক্ষেত্রে দ্য মরগানের সূত্রের অনুরূপ।
∃x φ: পরিসরের অন্তত একটি বস্তুর ক্ষেত্রে φ খাটে।
অস্তিত্বমূলক দাবি একটি সাক্ষী দেখিয়েই প্রতিষ্ঠা করা যায়। ∃x φ, ¬∀x ¬φ-এর সমতুল্য, তাই এক পরিমাণককে অন্যটি ও নঞর্থক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়।
“অবশ্যম্ভাবীভাবে” (□) ও “সম্ভবত” (◇) যোগ করা যুক্তিবিদ্যা।
প্রকারগত যুক্তিবিদ্যা সূত্রকে একক ব্যাখ্যায় নয়, সম্ভব জগতে যাচাই করে: প্রতিটি নাগালযোগ্য জগতে φ সত্য হলে □φ সত্য, কোনো একটিতে সত্য হলে ◇φ সত্য। “নাগালযোগ্য”-এর অর্থ বদলালে ভিন্ন ভিন্ন প্রকারগত ব্যবস্থা মেলে।
