براهين محلولة
تبرهن كل صفحة حجة واحدة بجدول دلالي: تُفترض المقدمات صادقة والنتيجة كاذبة، ثم تُحلَّل حتى يتناقض كل فرع أو يبقى إسناد صامد. كيف تعمل الجداول الدلالية ←
حجج صحيحة
- قياس الوضع
p→q, p ⊨ qإذا صدق p → q وصدق p لزم q. قياس الوضع هو القاعدة التي تستند إليها معظم البراهين، والجدول أدناه تُغلق كل فروعه. - قياس الرفع
p→q, ¬q ⊨ ¬pإذا صدق p → q وكذب q وجب أن يكذب p أيضًا: فكل ما يجعل p صادقًا يجعل q صادقًا. نفي التالي ينفي المقدم. - القياس الشرطي
p→q, q→r ⊨ p→rيتصل شرطيان يشتركان في صيغة وسطى: من p → q و q → r نحصل على p → r. وهكذا تبني الخطوات القصيرة حجة طويلة. - القياس الفصلي
p∨q, ¬p ⊨ qيحتاج الفصل إلى طرف صادق واحد على الأقل، فـ p ∨ q مع ¬p يترك q. وإذا استُبعد أحد الطرفين بقي الآخر. - المعضلة البنائية
p∨q, p→r, q→r ⊨ rسواء صدق p أو q فإن r يلزم في الحالتين، فيلزم r مطلقًا. فصلٌ مع شرطي من كل طرف يعطي النتيجة المشتركة. - عكس النقيض
p→q ⊨ ¬q→¬pيقول p → q و ¬q → ¬p الشيء نفسه: لا شيء يجعل المقدم صادقًا والتالي كاذبًا. والشرطي يعادل عكس نقيضه. - قانون دي مورغان
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬qلا يحدد ¬(p ∧ q) أي الطرفين يكذب، بل يقول فقط إنهما لا يصدقان معًا — وهذا بالضبط ¬p ∨ ¬q. - الاستلزام المادي
p→q ⊨ ¬p∨qيصدق p → q في الأسطر نفسها التي يصدق فيها ¬p ∨ q: إما أن يكذب المقدم وإما أن يصدق التالي. فالشرطي فصلٌ متنكر. - النفي المزدوج
¬¬p ⊨ pيصدق ¬¬p و p في الأسطر نفسها، لذا يمكن حذف النفي المزدوج أينما ورد. فالنفيان يلغي أحدهما الآخر. - حذف التكافؤ
p↔q, p ⊨ qيحمل طرفا p ↔ q القيمة نفسها دائمًا، فـ p يعطيك q و q يعطيك p. والتكافؤ يعمل في الاتجاهين. - قانون الثالث المرفوع
⊨ p∨¬pيصدق p ∨ ¬p في كل سطر ولا يحتاج إلى أي مقدمة: فكل قضية إما صادقة وإما كاذبة، ولا ثالث لهما. - مبدأ الانفجار
p, ¬p ⊨ qمن p و ¬p يلزم كل شيء: لا يوجد إسناد يجعل المقدمتين صادقتين معًا، فلا يوجد ما يجعلهما صادقتين والنتيجة كاذبة.
حجج فاسدة
- إثبات التالي
p→q, q ⊨ pمغالطة: p → q مع q يترك p مفتوحًا، لأن q قد يصدق لأسباب لا صلة لها بـ p. والفرع المفتوح أدناه يعطي النموذج المضاد. - نفي المقدم
p→q, ¬p ⊨ ¬qمغالطة: لا يقول p → q شيئًا عما يحدث حين يكذب p، فـ ¬p يترك q مفتوحًا. والفرع المفتوح أدناه يُظهر q صادقًا مع كذب p. - إثبات أحد طرفي الفصل
p∨q, p ⊨ ¬qمغالطة: p ∨ q فصلٌ جامع، فقد يصدق الطرفان معًا. ومعرفة p لا تخبرك بشيء عن q، كما يُظهر الفرع المفتوح أدناه.