مولّد الصيغ من جدول الصدق
اضبط عمود المخرجات بالنقر كما تحتاج، فتقرأ الأداة الصيغة منه مباشرة: الصورة DNF القياسية (مجموع الجداءات)، والصورة CNF القياسية (جداء المجاميع)، وأقصر صيغة مكافئة. كل شيء يجري داخل متصفحك، والجدول الذي تبنيه ينتقل مع الرابط نفسه.
| p | q | المخرج |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | |
| ⊤ | ⊥ | |
| ⊥ | ⊤ | |
| ⊤ | ⊤ |
انقر على قيم المخرج للتبديل بين الصادق (⊤) والكاذب (⊥)
كيف تحوّل جدول صدق إلى تعبير بولي
كل جدول صدق هو جدول صدق لصيغة ما، واثنتان من تلك الصيغ تُقرآن من الجدول مباشرة، بلا جبر ولا تخمين:
- اكتب صفوف الجدول كلها، وعددها 2ⁿ لمتغيراتك الـn، وعلّم الصفوف التي يكون فيها المخرج ⊤.
- لكل صف ⊤ اكتب حدًّا أصغر: كل المتغيرات معطوفة، منفيّةً حيث يجعلها الصف كاذبة. اربط الحدود الصغرى بـ«أو» فتحصل على DNF.
- لكل صف ⊥ اكتب حدًّا أكبر: كل المتغيرات مفصولة، منفيّةً حيث يجعلها الصف صادقة. اربط الحدود الكبرى بـ«و» فتحصل على CNF.
- للصيغتين معًا جدولُ الصدق نفسه الذي انطلقت منه، فكلتاهما جواب صحيح. أما إن أردت الأقصر فبسّط بعد ذلك.
الحد الأصغر
عطف بين كل المتغيرات، كلٌّ منها منفيّ أو غير منفيّ، يكون صادقًا في صف واحد بالضبط من الجدول. والصورة DNF هي فصل الحدود الصغرى للصفوف التي مخرجها ⊤، ولذلك تضم حدًّا واحدًا عن كل صف ⊤.
الحد الأكبر
فصل بين كل المتغيرات، كلٌّ منها منفيّ أو غير منفيّ، يكون كاذبًا في صف واحد بالضبط من الجدول. والصورة CNF هي عطف الحدود الكبرى للصفوف التي مخرجها ⊥، ولذلك تضم حدًّا واحدًا عن كل صف ⊥.
مثال محلول: أو الحصرية
الجدول أعلاه هو الذي تفتح عليه الأداة: p وq، صادق في الصفين اللذين يختلف فيهما المدخلان بالضبط.
- صفّان مخرجهما ⊤، فللصورة DNF حدّان أصغران: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
- والصفّان الآخران مخرجهما ⊥، فللصورة CNF حدّان أكبران: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
لا سبيل إلى اختصار أي منهما، فأو الحصرية تحتاج حقًّا إلى الحدّين معًا، وهذا مما يحسن أن يُرى مرة واحدة: الصورة القياسية ليست دائمًا الطريق الأطول. إنما تتقدم الصيغة الدنيا تقدمًا واضحًا عند جدول مثل «واحد على الأكثر من p وq وr».
فهم التركيب البولي
الصورة العادية الفصلية (DNF)
تكتب الصورة DNF الصيغةَ على هيئة «أو» بين عطوف (مجموع الجداءات). فلكل صف يكون فيه المخرج صادقًا نبني حدًّا أصغر يعطف كل المتغيرات، مع نفي ما هو كاذب منها. ثم تُوصَل هذه الحدود الصغرى بـ«أو» لتؤلّف الصيغة كاملة.
الصورة العادية العطفية (CNF)
تكتب الصورة CNF الصيغةَ على هيئة «و» بين فصول (جداء المجاميع). فلكل صف يكون فيه المخرج كاذبًا نبني حدًّا أكبر يفصل بين كل المتغيرات، مع نفي ما هو صادق منها. ثم تُوصَل هذه الحدود الكبرى بـ«و» لتؤلّف الصيغة كاملة.
موازنة بين DNF وCNF
| الوجه | الصورة العادية الفصلية (مجموع الجداءات) | الصورة العادية العطفية (جداء المجاميع) |
|---|---|---|
| تُبنى من | الصفوف التي مخرجها ⊤، حدٌّ أصغر عن كل صف | الصفوف التي مخرجها ⊥، حدٌّ أكبر عن كل صف |
| الشكل | فصل بين عطوف: «أو» بين «و» | عطف بين فصول: «و» بين «أو» |
| اخترها حين | تريد تعداد الحالات التي تجعل الصيغة صادقة، أو تخطيط دارة «و»-«أو» | تريد القيود التي يجب أن تتحقق كلها معًا، أو صورة البنود التي يتوقعها حلّال SAT |
إلى أي حد يكبر الجدول؟
لدالة من n متغيرات 2ⁿ صفًّا، فيتضاعف الجدول مع كل متغير تضيفه: 4 صفوف لمتغيرين، و8 لثلاثة، و16 لأربعة، و32 لخمسة، وعندها تقف هذه الأداة. تأخذ الصورة DNF حدًّا عن كل صف ⊤، وتأخذ CNF حدًّا عن كل صف ⊥، فهما معًا تحسبان كل صف مرة واحدة بالضبط - وإحداهما دائمًا نقطة انطلاق أقصر.
تطبيقات التركيب انطلاقًا من جدول الصدق
تحويل جدول الصدق إلى تعبير منطقي أسلوب أساسي في علوم الحاسوب والإلكترونيات الرقمية. تساعدك هذه الأداة على:
- تصميم الدارات الرقمية - استخراج المعادلات البوليّة للبوابات المنطقية من السلوك المطلوب بين المداخل والمخارج
- تطوير البرمجيات - توليد منطق الشروط من جدول مواصفات
- الدراسة - تعلّم الجبر البولي ومنطق القضايا والتمرّن عليهما
- تحسين المنطق - الموازنة بين DNF وCNF للعثور على تعبير مكافئ أبسط
الأسئلة الشائعة
إجابات عن الأسئلة الشائعة حول استخدام الآلة الحاسبة المنطقية
ماذا تفعل أداة التحويل من جدول الصدق إلى تعبير؟
تُشغّل الآلة الحاسبة في الاتجاه المعاكس. تحدّد عمود المخرجات في جدول صدق بالنقر على كل صف، فتُنتج الأداة صيغةً جدولُ صدقها هو ذلك تمامًا، إما في الصورة العطفية القياسية (فصلٌ بين عطوف) أو الصورة الفصلية القياسية (عطفٌ بين فصول).
ما الفرق بين DNF و CNF؟
الصورة DNF هي مجموع حواصل ضرب: عطفٌ واحد لكل صف يكون فيه المخرج صادقًا، ثم تُوصَل كلها بـ«أو». والصورة CNF هي حاصل ضرب مجاميع: فصلٌ واحد لكل صف يكون فيه المخرج كاذبًا، ثم تُوصَل كلها بـ«و». وكلتاهما تصف الدالة نفسها، فاختر ما يقصُر منهما لجدولك: عمودٌ أكثره كذبٌ يعطي DNF قصيرة، وعمودٌ أكثره صدقٌ يعطي CNF قصيرة.
كم متغيّرًا تقبل أداة التركيب؟
خمسة على الأكثر، أي جدول من 32 صفًّا. وكل متغيّر تضيفه يضاعف الصفوف، وبعد الخمسة يكفّ الجدول عن كونه شيئًا يمكن ضبطه باليد.
لماذا التعبير النّاتج بهذا الطول؟
تُبنى الصورة القياسية صفًّا صفًّا، بحدٍّ كامل العرض لكل صف يلزم تغطيته، فطولها يتبع جدول الصدق لا الفكرة التي وراء الصيغة. إنها صحيحة بحكم طريقة بنائها، لا موجزة. ولاختصارها افتحها في الآلة الحاسبة، فهي تسرد الصور المكافئة، ومنها صورة DNF مصغَّرة.
هل أحصل على صيغة مبسّطة؟
نعم. أدخِلها في الآلة الحاسبة وانظر إلى الصور المكافئة أسفل جدول الصدق. تضمّ صورًا مشتقّة بإعادة الكتابة وفق القوانين الجبرية، وكذلك صورتَي DNF و CNF المقروءتين من جدول الصدق مع صورة DNF مصغَّرة.