1. ما هو البرهان
الحجّة دعوى بأن نتيجةً ما تلزم عن مقدّمات ما. والبرهان هو ما يحسم تلك الدعوى: كائن متناهٍ قابل للفحص يستطيع أيّ أحد أن يقرأه سطراً سطراً فيوافق عليه، من غير أن يضطر إلى تصديقك في شيء. وليست قيمة البرهان في أنه يقنع - فالخطبة البليغة تقنع أيضاً - بل في أن كل خطوة فيه ما كان لها أن تجري على غير ما جرت.
وهذا مطلب أشدّ صرامة مما يبدو. قولك «تمطر السماء، إذن الأرض مبتلّة» كلام معقول، لكنه يتّكئ على ما تعرفه عن المطر والأرض. أما المنطق الصوري فيطرح ذلك جانباً ويسأل سؤالاً أضيق: بالنظر إلى صورة الجمل وحدها، هل ثمة سبيل البتّة إلى أن تكون المقدّمات صادقة والنتيجة كاذبة؟ فإن لم يكن ثمة سبيل، فالحجّة صحيحة، والبرهان هو سجلّ السبب في انعدام ذلك السبيل.
يتناول هذا الدليل طريقةً واحدة لإنتاج ذلك السجلّ: طريقة الجداول الدلالية، وتُسمّى كذلك أشجار الصدق. وهي الطريقة التي يستعملها هذا الموقع كلما أدخلت حجّةً في الحاسبة، ومتى تتبّعتها مرّةً واحدة صار في وسعك فحص أيّ حجّة على الورق بقلم لا غير.
2. صحيحة، وكيف تعرف ذلك
اكتب الحجّة بعلامة الاستلزام: المقدّمات على اليمين والنتيجة على اليسار. والدعوى p → q, ¬q ⊨ ¬p تقول إن من شرطيةٍ ونفي تاليها يلزم نفي مقدَّمها. وعلامة الاستلزام ليست رابطاً آخر، بل هي دعوى عن الصيغتين على جانبيها، وهي إما صائبة وإما خاطئة.
يشير تعريف الصحّة مباشرةً إلى طريقة اختبارها: اعرض كل إسناد للصدق والكذب على المتغيّرات، وانظر هل فيها ما يجعل جميع المقدّمات صادقة والنتيجة كاذبة. هذا ما يفعله جدول الصدق، وهو وافٍ تماماً مع متغيّرين أو ثلاثة. والمشكلة أن الجدول ينمو بمقدار 2ⁿ. فعشرة متغيّرات تحتاج ألف صفّ، وعشرون تحتاج مليوناً، ثم إن الجدول لا يقول شيئاً عن الصفوف التي كان لها شأن.
أما الجدول الدلالي فيهاجم السؤال نفسه من طرفه الآخر. فبدل أن يعدّ كل الاحتمالات باحثاً عن احتمال سيّئ، يفترض وجود احتمال سيّئ ويحاول بناءه. فإن انهارت المحاولة في تناقض على كل مسار تستطيع سلوكه، فلا وجود لإسناد كهذا والحجّة صحيحة. وإن نجحت المحاولة، فما بُني هو مثال مضادّ تقرؤه مباشرةً.
3. طريقة الجداول الدلالية
الجدول الدلالي شجرةٌ من صيغ موسومة. كل سطر صيغة يتقدّمها حرف T أو F، والوسم يقول ما الذي يفترضه الفرع عن تلك الصيغة - لا ما قيمتها الصدقية، بل ما ينبغي أن تكون عليه كي تسقط الحجّة. والطريقة كلها أربع خطوات:
- اكتب كل مقدّمة بحرف T. أنت تفترض أن مقدّمات الحجّة كلها قائمة.
- اكتب النتيجة بحرف F. أنت تفترض أنها تسقط مع ذلك - وهذا هو الافتراض الذي تسعى إلى إبطاله.
- خذ أيّ سطر لم يصر ذرّةً بعد وطبّق قاعدة رابطه الرئيس ووسمه، مضيفاً ما تنتجه القاعدة إلى نهاية كل فرع يمرّ به.
- أغلق الفرع حالما يحمل T A و F A معاً للصيغة A نفسها. وتوقّف حين تُغلق الفروع كلها، أو حين لا يبقى سطر يُحلَّل.
ليس في هذه الدورة ما يستدعي براعةً أو اختيار خطّة. فلكل سطر قاعدة واحدة بالضبط، وتطبيق القواعد بأيّ ترتيب يعطي الحكم نفسه - ولهذا تستطيع آلة أن تقوم به، ولهذا يسعك أن تثق بالنتيجة حين تقوم به.
4. القواعد
ثمة قاعدة لكل رابط تحت كل وسم - عشرٌ في الجملة. وهي تنقسم صنفين، والفرق بين الصنفين هو كل السبب في أن الجدول الدلالي شجرة لا قائمة. فقاعدة ألفا تقول إن أشياء عدّة لا بدّ أن تقوم معاً، فتكدّس نتائجها نازلةً على الفرع. وقاعدة بيتا تقول إن واحداً من أمرين لا بدّ أن يقوم، فتشطر الفرع شطرين وتدع كل حالة تمضي في سبيلها.
| السطر | يُنتج | الشكل |
|---|---|---|
T ¬A | F A | يكدّس |
F ¬A | T A | يكدّس |
T (A∧B) | T A, T B | يكدّس |
F (A∧B) | F AF B | يتشعّب |
T (A∨B) | T AT B | يتشعّب |
F (A∨B) | F A, F B | يكدّس |
T (A→B) | F AT B | يتشعّب |
F (A→B) | T A, F B | يكدّس |
T (A↔B) | T A, T BF A, F B | يتشعّب |
F (A↔B) | T A, F BF A, T B | يتشعّب |
ليست كل قاعدة إلا شرط الصدق الخاصّ برابطها مقروءاً من آخره. فالعطف لا يصدق إلا إذا صدق طرفاه، ولذا فإن T (A ∧ B) تكدّس T A و T B. والعطف يكذب متى كذب أحد طرفيه على الأقل، لكن الصيغة لا تقول أيّهما، ولذا وجب على F (A ∧ B) أن تجرّب الطرفين: فهي تتشعّب. ويجري اللاتماثل نفسه معكوساً في الفصل، وكذب الشرطية يعني أن مقدَّمها قام وتاليها سقط - وهي الحالة الوحيدة التي ينكسر فيها اللزوم.
لاحظ ما لا تفعله القواعد أبداً: إنها لا تخترع صيغة. فكل ما تنتجه القاعدة قطعةٌ من السطر الذي جاءت منه. وهذه الخاصية - خاصية الصيغة الجزئية - هي ما يجعل الطريقة متناهية، وسنعود إليها أدناه.
5. إغلاق الفرع
الفرع خيط استدلال واحد: اقرأ من الجذر إلى ورقة، تحصل على مجموعة افتراضات كاملة. ويُغلق الفرع حين تتناقض تلك الافتراضات تناقضاً صريحاً، أي حين يحمل T A و F A لصيغة واحدة بعينها. ولا يهمّ كم كانت A معقّدة، ولا كم تباعد السطران - فمتى اقتضى فرعٌ أن تكون صيغةٌ صادقةً وكاذبةً معاً، لم يُشبعه شيء.
علّم الفرع المغلق بعلامة ×، مسمّياً السطرين اللذين أغلقاه، ثم كفّ عن العمل فيه. فليس في افتراضٍ كان مستحيلاً أصلاً ما يُتعلَّم بعد.
ومتى أُغلق كل فرع كان الجدول مغلقاً، وذاك هو البرهان. فهو يبيّن أن الافتراض الذي بدأت منه - كل المقدّمات صادقة والنتيجة كاذبة - يفضي إلى تناقض على كل مسار كان يستطيع سلوكه. وما دام لم يبقَ مسار، فلا وجود لإسناد كهذا، والحجّة صحيحة. وهذا برهان بالخلف، مبسوطٌ على نحوٍ لا تفوت معه أيّ حالة.
6. برهان، سطراً سطراً
خذ رفع النقيض: p → q, ¬q ⊨ ¬p. السطران 1 و2 هما المقدّمتان، مفترضتين صادقتين. والسطر 3 هو النتيجة، مفترضةً كاذبة - ولمّا كانت النتيجة ¬p، فإن افتراض كذبها هو افتراض صدق p، وهو ما يسجّله السطر 5. والسطر 4 آتٍ من قاعدة النفي مطبّقةً على السطر 2: فإن صدق ¬q كذب q. والشرطية في السطر 1 هي السطر الوحيد الباقي فيه رابط، وهي قاعدة بيتا، فتتشعّب الشجرة:
- 1صحيح: p→qمقدمة
- 2صحيح: ¬qمقدمة
- 3خاطئ: ¬pنفي النتيجة
- 4خاطئ: qمن السطر 2
- 5صحيح: pمن السطر 3
- 6خاطئ: pمن السطر 1
أُغلق الفرع: السطر 6 يناقض السطر 5.
- 7صحيح: qمن السطر 1
أُغلق الفرع: السطر 7 يناقض السطر 4.
فرع مغلق
يفترض الفرع الأول أن الشرطية قامت لأن مقدَّمها سقط - لكن السطر 5 يحمل p صادقةً سلفاً، فيتناقض الفرع مع نفسه ويُغلق. ويفترض الفرع الثاني أنها قامت لأن تاليها كان صادقاً - لكن السطر 4 يحمل q كاذبةً سلفاً، فيُغلق هو الآخر.
أُغلق الفرعان كلاهما، فلا سبيل إلى أن تصدق p → q و¬q مع كذب ¬p. الحجّة صحيحة، والشجرة هي السبب. ولاحظ أن البرهان لم يذكر مطراً ولا أرضاً ولا ما تدلّ عليه p وq. ولم يكن به حاجة إلى ذلك.
7. حين يبقى فرعٌ مفتوحاً
ليست كل حجّة صحيحة، وهنا تُثبت الطريقة جدواها. فإذا عملت في فرعٍ حتى لم يعد فيه شيء قابل للتحليل - ولم يبقَ إلا ذرّات وذرّات منفيّة - وظلّ مع ذلك غير مغلق، فذلك الفرع مشبَعٌ ومفتوح. ولم يبقَ مفتوحاً لأنك توقّفت قبل الأوان، بل لأنه لم يبقَ شيء يُجرَّب.
والفرع المفتوح أكثر من حكم بـ«غير صحيحة». فاقرأ أوسمة ذرّاته تحصل على إسناد: كل ذرّة موسومة بـ T صادقة، وكل ذرّة موسومة بـ F كاذبة. وهذا الإسناد يجعل كل مقدّمة صادقة والنتيجة كاذبة، وهو بالضبط ما يعنيه المثال المضادّ. ويسمّيه المناطقة نموذجاً مضادّاً، وهو جواب ملموس عن سؤال «ولمَ لا؟» بدلاً من الامتناع عن الجواب.
وإثبات التالي، p → q, q ⊨ p، هو المثال المدرسيّ. فجدوله يترك فرعاً مفتوحاً على كذب p وصدق q - وهو وضعٌ تقوم فيه الشرطية ويقوم تاليها، ولا يقوم مقدَّمها. وهذا الإسناد وحده يبطل الحجّة.
8. لماذا تنتهي دائماً
كل قاعدة تستبدل بالصيغة صيغها الجزئية، وكل صيغة جزئية أقصر قطعاً من الصيغة التي جاءت منها. فلا يستطيع فرعٌ أن ينمو إلى غير نهاية: إذ تنزل كل خطوة سلّماً متناهياً من أجزاء الحجّة الأصلية، وللسلّم قاع. وفي النهاية يصير كل سطر في الفرع ذرّةً أو نفياً لذرّة، ولا يبقى ما يُفعل.
وهذا ضمانٌ حقيقيّ لا أمنية. ومعناه أن الطريقة إجراء تقريرٍ لمنطق القضايا: أجرِها على أيّ حجّة تتوقّف، إما بشجرة مغلقة وإما بفرع مفتوح، ولا تنتهي أبداً بهزّ كتفين. ويفرض البرهِن في هذا الموقع فوق ذلك حدّاً لعدد العقد، لكنه حرزٌ من أن تستنزف صيغةٌ شاذّة لسان تبويب في المتصفّح - أما الرياضيات فلا تحتاج إلى حدّ كهذا.
9. أنظمة برهان أخرى
الجداول الدلالية واحدٌ من أنظمة برهان عدّة، وهي النظام ذو الصورة الإبطالية: يعمل باستبعاد السقوط. أما الاستنتاج الطبيعي فيسير في الاتجاه المعاكس، فيبني النتيجة إلى الأمام انطلاقاً من المقدّمات، بقواعد مثل وضع المقدَّم والبرهان الشرطي، وهو أشبه كثيراً بطريقة المشتغل بالرياضيات في الحجاج نثراً. وبرهان الاستنتاج الطبيعي أقصر في العادة؛ والعثور عليه يحتاج في العادة إلى ابتكار أكثر.
ويصوغ حساب المتواليات علامة الاستلزام نفسها صياغةً صورية، ويعامل دعاوى الاستلزام أشياءَ قائمة بذاتها، وهو ما يجعله الأداة المفضّلة حين يُراد البرهنة على أمور تخصّ البراهين. أما الحلّ بالطيّ فيردّ كل شيء إلى فقرات وقاعدةٍ واحدة، وهو غير جذّاب في القراءة وبالغ السرعة في التنفيذ - وعليه بُني أكثر البرهِنات الآلية وحلّالات SAT.
وكلها متّفقة على أيّ الحجج القضوية صحيحة؛ وإنما تختلف في هيئة البرهان وفيما يسهل العثور عليه. والجداول الدلالية ألطفها في التعليم، لأن البرهان الفاشل فيها ليس طريقاً مسدوداً - بل يناولك المثال المضادّ.
10. التمرّن
أسرع سبيل إلى تعلّم الطريقة أن تُجريها. أدخل حجّةً في الحاسبة بعلامة ⊨ أو ⊢ أو |= فيُرسم الجدول الدلالي إلى جانب جدول الصدق، فتقابل الشجرة بالصفوف. ثم اعمل بضعة براهين على الورق قبل أن تنظر.