假言三段论：p→q, q→r ⊨ p→r 有效吗？
共享中间公式的两个蕴涵可以相连：由 p → q 与 q → r 得到 p → r。长论证正是这样由短步骤搭起来的。
有效
p→q, q→r ⊨ p→r语义表的所有分支都关闭，因此没有任何赋值能让前提为真而结论为假。
证明（语义表）
- 1真: p→q前提
- 2真: q→r前提
- 3假: p→r否定的结论
- 4真: p来自第 3 行
- 5假: r来自第 3 行
- 6假: p来自第 1 行
分支关闭：第 6 行与第 4 行矛盾。
- 7真: q来自第 1 行
- 8假: q来自第 2 行
分支关闭：第 8 行与第 7 行矛盾。
- 9真: r来自第 2 行
分支关闭：第 9 行与第 5 行矛盾。
关闭的分支