真值表到表达式生成器
点击输出列，把它调成你需要的形状，工具就会从中读出公式：标准析取范式（积之和）、标准合取范式（和之积），以及最短的等价形式。全部在浏览器中运行，你构建的真值表也保存在链接里。
| p | q | 输出 |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | |
| ⊤ | ⊥ | |
| ⊥ | ⊤ | |
| ⊤ | ⊤ |
点击输出值在真(⊤)和假(⊥)之间切换
如何把真值表转换为布尔表达式
每张真值表都是某个公式的真值表，其中两个公式可以直接读出来，无需代数变换，也无需猜测：
- 写出 n 个变量的全部 2ⁿ 行，并标出输出为 ⊤ 的那些行。
- 为每个 ⊤ 行写一个最小项：把所有变量用 AND 连接，对该行取假的变量取反。把这些最小项用 OR 连接，就得到 DNF。
- 为每个 ⊥ 行写一个最大项：把所有变量用 OR 连接，对该行取真的变量取反。把这些最大项用 AND 连接，就得到 CNF。
- 两个公式都恰好具有你开始时的那张表，所以任何一个都是正确答案。如果想要最短的形式，之后再做化简。
最小项
所有变量的合取（每个变量取反或不取反），它在表中恰好一行为真。DNF 是输出为 ⊤ 的各行的最小项的析取，因此每个 ⊤ 行对应一项。
最大项
所有变量的析取（每个变量取反或不取反），它在表中恰好一行为假。CNF 是输出为 ⊥ 的各行的最大项的合取，因此每个 ⊥ 行对应一项。
示例：异或
上面的表就是工具打开时的默认表：p 和 q，恰好在两个输入不同的行上为真。
- 有两行为 ⊤，所以 DNF 有两个最小项：(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
- 另外两行为 ⊥，所以 CNF 有两个最大项：(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
两者都无法再化简——异或确实需要这两项——这一点值得看一次：标准形式并不总是绕远路。像“p、q、r 中至多一个为真”这样的表，才是最简形式明显占优的地方。
理解布尔综合
析取范式 (DNF)
DNF将公式表示为AND的OR（积之和）。对于输出为真的每一行，我们创建一个最小项，将所有变量用AND连接，对假的变量取反。然后将这些最小项用OR连接形成完整的表达式。
合取范式 (CNF)
CNF将公式表示为OR的AND（和之积）。对于输出为假的每一行，我们创建一个最大项，将所有变量用OR连接，对真的变量取反。然后将这些最大项用AND连接形成完整的表达式。
DNF 与 CNF 对比
| 方面 | 析取范式（积之和） | 合取范式（和之积） |
|---|---|---|
| 构建自 | 输出为 ⊤ 的行，每行一个最小项 | 输出为 ⊥ 的行，每行一个最大项 |
| 形式 | 合取式的析取：AND 的 OR | 析取式的合取：OR 的 AND |
| 适用场景 | 想枚举使公式为真的各种情况，或设计 AND-OR 电路 | 想得到必须同时成立的约束，或 SAT 求解器所需的子句形式 |
真值表会有多大？
n 个变量的函数有 2ⁿ 行，因此每增加一个变量，表就翻一倍：两个变量 4 行，三个 8 行，四个 16 行，五个 32 行，本工具到此为止。DNF 每个 ⊤ 行取一项，CNF 每个 ⊥ 行取一项，两者合起来恰好覆盖每一行一次——而其中总有一个是更短的起点。
真值表综合的应用
将真值表转换为逻辑表达式是计算机科学和数字电子学的基础技术。此工具有助于：
- 数字电路设计 - 根据所需的输入输出行为创建逻辑门的布尔方程
- 软件开发 - 从规格表生成条件逻辑
- 学术研究 - 学习和练习布尔代数和命题逻辑
- 逻辑优化 - 比较DNF和CNF形式以找到更简单的等效表达式
常见问题
关于逻辑计算器使用方式的常见问题解答
“从真值表到表达式”这个工具是做什么的？
它让计算器反过来运行。你逐行点击来设定真值表的输出列，它就生成一个真值表恰好如此的公式，形式可以是析取范式（若干合取式的析取）或合取范式（若干析取式的合取）。
析取范式和合取范式有什么区别？
析取范式是积之和：输出为真的每一行对应一个合取式，全部用“或”连接。合取范式是和之积：输出为假的每一行对应一个析取式，全部用“与”连接。两者描述同一个函数，所以哪个对你的表格更短就用哪个——输出大多为假时析取范式较短，大多为真时合取范式较短。
合成工具最多支持几个变量？
最多五个，也就是 32 行的表格。每加一个变量行数就翻倍，超过五个之后，这张表就不再是能靠手工设定的东西了。
为什么生成的表达式这么长？
范式是一行一行搭起来的：每需要覆盖一行，就有一个包含全部变量的项。所以它的长度跟着真值表走，而不是跟着公式背后的想法走。它按构造保证正确，但不保证简洁。想缩短的话，把它放到计算器里打开，那里会列出等价形式，包括一个最小化的析取范式。
能得到一个公式的简化版本吗？
可以。把它输入计算器，看真值表下方的等价形式。其中既有依代数定律改写得到的形式，也有从真值表读出的析取范式和合取范式，以及一个最小化的析取范式。