有效 BCD 数字：从真值表到布尔表达式

真值表
行	p	q	r	s	输出
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

这些形式是如何从表中读出的

16 行中有 10 行输出为 ⊤：1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15。每一行为 DNF 贡献一个最小项。
16 行中有 6 行输出为 ⊥：4, 6, 8, 12, 14, 16。每一行为 CNF 贡献一个最大项。

析取范式（积之和）

(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ s)

合取范式（和之积）

(¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ ¬s)

最简形式 - 积之和

¬p ∨ (¬q ∧ ¬r)

最简形式 - 和之积

(¬p ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q)

在工具中打开此真值表

常见问题

关于逻辑计算器使用方式的常见问题解答

“从真值表到表达式”这个工具是做什么的？

它让计算器反过来运行。你逐行点击来设定真值表的输出列，它就生成一个真值表恰好如此的公式，形式可以是析取范式（若干合取式的析取）或合取范式（若干析取式的合取）。

析取范式和合取范式有什么区别？

析取范式是积之和：输出为真的每一行对应一个合取式，全部用“或”连接。合取范式是和之积：输出为假的每一行对应一个析取式，全部用“与”连接。两者描述同一个函数，所以哪个对你的表格更短就用哪个——输出大多为假时析取范式较短，大多为真时合取范式较短。

合成工具最多支持几个变量？

最多五个，也就是 32 行的表格。每加一个变量行数就翻倍，超过五个之后，这张表就不再是能靠手工设定的东西了。

为什么生成的表达式这么长？

范式是一行一行搭起来的：每需要覆盖一行，就有一个包含全部变量的项。所以它的长度跟着真值表走，而不是跟着公式背后的想法走。它按构造保证正确，但不保证简洁。想缩短的话，把它放到计算器里打开，那里会列出等价形式，包括一个最小化的析取范式。

能得到一个公式的简化版本吗？

可以。把它输入计算器，看真值表下方的等价形式。其中既有依代数定律改写得到的形式，也有从真值表读出的析取范式和合取范式，以及一个最小化的析取范式。

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行	p	q	r	s	输出
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

行	p	q	r	s	输出
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

行	p	q	r	s	输出
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥