Demonstrações resolvidas
Cada página demonstra um argumento com um tableau semântico: as premissas são assumidas verdadeiras e a conclusão falsa, e depois decompostas até cada ramo se contradizer ou sobreviver uma atribuição. Como funcionam os tableaux semânticos →
Argumentos válidos
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qSe p → q vale e p é verdadeira, segue-se q. O modus ponens é a regra em que quase toda demonstração se apoia, e o tableau abaixo fecha todos os ramos. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pSe p → q vale e q é falsa, p também tem de o ser: o que tornasse p verdadeira tornaria q verdadeira. Negar o consequente nega o antecedente. - Silogismo hipotético
p→q, q→r ⊨ p→rDois condicionais que partilham uma fórmula intermédia encadeiam-se: de p → q e q → r obtém-se p → r. É assim que passos curtos constroem um argumento longo. - Silogismo disjuntivo
p∨q, ¬p ⊨ qUma disjunção precisa de pelo menos um lado verdadeiro, por isso p ∨ q com ¬p deixa q. Excluído um disjunto, fica o outro. - Dilema construtivo
p∨q, p→r, q→r ⊨ rValha p ou valha q, segue-se r — logo r segue-se sem mais. Uma disjunção mais um condicional de cada lado dá a conclusão comum. - Contraposição
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q e ¬q → ¬p dizem o mesmo: nada pode tornar o antecedente verdadeiro enquanto o consequente falha. Um condicional equivale à sua contrapositiva. - Lei de De Morgan
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) não diz qual conjunto falha, apenas que não podem valer ambos — que é exatamente ¬p ∨ ¬q. Negar uma conjunção distribui a negação. - Implicação material
p→q ⊨ ¬p∨qp → q vale exatamente nas linhas em que vale ¬p ∨ q: ou falha o antecedente, ou vale o consequente. Um condicional é uma disjunção disfarçada. - Dupla negação
¬¬p ⊨ p¬¬p e p são verdadeiras nas mesmas linhas, por isso uma dupla negação pode ser retirada onde apareça. Duas negações anulam-se. - Eliminação do bicondicional
p↔q, p ⊨ qOs dois lados de p ↔ q têm sempre o mesmo valor de verdade, por isso p dá q — e q daria p. Um bicondicional funciona nos dois sentidos. - Princípio do terceiro excluído
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p é verdadeira em todas as linhas e não exige premissa alguma: toda proposição é verdadeira ou falsa, sem terceira opção. - Princípio da explosão
p, ¬p ⊨ qDe p e ¬p segue-se tudo: nenhuma atribuição torna ambas as premissas verdadeiras, logo nenhuma as torna verdadeiras com a conclusão falsa.
Argumentos inválidos
- Afirmação do consequente
p→q, q ⊨ pUma falácia: p → q com q deixa p em aberto, porque q pode valer por razões alheias a p. O ramo aberto abaixo dá o contramodelo. - Negação do antecedente
p→q, ¬p ⊨ ¬qUma falácia: p → q nada diz sobre o que acontece quando p falha, por isso ¬p deixa q em aberto. O ramo aberto abaixo mostra q verdadeira com p falsa. - Afirmação de um disjunto
p∨q, p ⊨ ¬qUma falácia: p ∨ q é inclusiva, por isso ambos os lados podem valer ao mesmo tempo. Saber p nada diz sobre q, como mostra o ramo aberto abaixo.