Uitgewerkte bewijzen
Elke pagina bewijst één argument met een semantisch tableau: de premissen worden waar en de conclusie onwaar aangenomen en dan ontleed tot elke tak zichzelf tegenspreekt of een toekenning overblijft. Hoe semantische tableaus werken →
Geldige argumenten
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qGeldt p → q en is p waar, dan volgt q. Modus ponens is de regel waarop bijna elk bewijs steunt, en het tableau hieronder sluit elke tak. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pGeldt p → q en is q onwaar, dan moet p dat ook zijn: wat p waar maakte, zou q waar maken. Het ontkennen van het consequens ontkent het antecedens. - Hypothetisch syllogisme
p→q, q→r ⊨ p→rTwee implicaties met een gedeelde tussenformule schakelen aaneen: uit p → q en q → r volgt p → r. Zo bouwen korte stappen een lang argument. - Disjunctief syllogisme
p∨q, ¬p ⊨ qEen disjunctie heeft minstens één ware kant nodig, dus p ∨ q met ¬p laat q over. Valt één lid af, blijft het andere staan. - Constructief dilemma
p∨q, p→r, q→r ⊨ rOf p nu geldt of q, r volgt hoe dan ook — dus r volgt zonder meer. Een disjunctie plus een implicatie vanaf elke kant geeft de gedeelde conclusie. - Contrapositie
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q en ¬q → ¬p zeggen hetzelfde: niets kan het antecedens waar maken terwijl het consequens faalt. Een implicatie geldt als haar contrapositie. - Wet van De Morgan
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) zegt niet welk lid faalt, alleen dat ze niet allebei kunnen gelden — precies ¬p ∨ ¬q. Het ontkennen van een conjunctie verdeelt de ontkenning. - Materiële implicatie
p→q ⊨ ¬p∨qp → q geldt precies in de rijen waar ¬p ∨ q geldt: óf het antecedens faalt, óf het consequens houdt stand. Een implicatie is een vermomde disjunctie. - Dubbele ontkenning
¬¬p ⊨ p¬¬p en p zijn in dezelfde rijen waar, dus een dubbele ontkenning mag overal vervallen. Twee ontkenningen heffen elkaar op. - Bi-implicatie-eliminatie
p↔q, p ⊨ qBeide kanten van p ↔ q dragen altijd dezelfde waarheidswaarde, dus p geeft q — en q zou p geven. Een bi-implicatie werkt beide kanten op. - Wet van de uitgesloten derde
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p is in elke rij waar en heeft geen enkele premisse nodig: elke propositie is waar of onwaar, een derde is er niet. - Principe van explosie
p, ¬p ⊨ qUit p en ¬p volgt alles: geen toekenning maakt beide premissen waar, dus geen enkele maakt ze waar met een onware conclusie.
Ongeldige argumenten
- Bevestiging van het consequens
p→q, q ⊨ pEen drogreden: p → q met q laat p open, want q kan gelden om redenen die niets met p te maken hebben. De open tak hieronder geeft het tegenmodel. - Ontkenning van het antecedens
p→q, ¬p ⊨ ¬qEen drogreden: p → q zegt niets over wat er gebeurt als p faalt, dus ¬p laat q open. De open tak hieronder toont q waar terwijl p onwaar is. - Bevestiging van een disjunct
p∨q, p ⊨ ¬qEen drogreden: p ∨ q is inclusief, dus beide kanten kunnen tegelijk gelden. Weten dat p geldt zegt niets over q, zoals de open tak hieronder laat zien.