Dimostrazioni svolte
Ogni pagina dimostra un argomento con un tableau semantico: le premesse sono assunte vere e la conclusione falsa, poi scomposte finché ogni ramo si contraddice o sopravvive un'assegnazione. Come funzionano i tableaux semantici →
Argomenti validi
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qSe vale p → q e p è vera, segue q. Il modus ponens è la regola su cui poggia quasi ogni dimostrazione, e il tableau qui sotto chiude ogni ramo. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pSe vale p → q e q è falsa, anche p deve esserlo: ciò che rendesse vera p renderebbe vera q. Negare il conseguente nega l'antecedente. - Sillogismo ipotetico
p→q, q→r ⊨ p→rDue condizionali che condividono una formula intermedia si concatenano: da p → q e q → r si ottiene p → r. Così passi brevi costruiscono un argomento lungo. - Sillogismo disgiuntivo
p∨q, ¬p ⊨ qUna disgiunzione richiede almeno un lato vero, quindi p ∨ q con ¬p lascia q. Escluso un disgiunto, resta l'altro. - Dilemma costruttivo
p∨q, p→r, q→r ⊨ rChe valga p o valga q, segue r: dunque r segue senz'altro. Una disgiunzione più un condizionale da ciascun lato dà la conclusione comune. - Contrapposizione
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q e ¬q → ¬p dicono la stessa cosa: nulla può rendere vero l'antecedente mentre il conseguente fallisce. Un condizionale equivale alla sua contronominale. - Legge di De Morgan
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) non dice quale congiunto fallisca, solo che non possono valere entrambi: esattamente ¬p ∨ ¬q. Negare una congiunzione distribuisce la negazione. - Implicazione materiale
p→q ⊨ ¬p∨qp → q vale esattamente nelle righe in cui vale ¬p ∨ q: o fallisce l'antecedente, o tiene il conseguente. Un condizionale è una disgiunzione travestita. - Doppia negazione
¬¬p ⊨ p¬¬p e p sono vere nelle stesse righe, quindi una doppia negazione si può togliere ovunque compaia. Due negazioni si annullano. - Eliminazione del bicondizionale
p↔q, p ⊨ qI due lati di p ↔ q portano sempre lo stesso valore di verità, quindi p dà q — e q darebbe p. Un bicondizionale funziona in entrambe le direzioni. - Principio del terzo escluso
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p è vera in ogni riga e non richiede alcuna premessa: ogni proposizione è vera o falsa, senza terza possibilità. - Principio di esplosione
p, ¬p ⊨ qDa p e ¬p segue qualsiasi cosa: nessuna assegnazione rende vere entrambe le premesse, quindi nessuna può renderle vere con la conclusione falsa.
Argomenti non validi
- Affermazione del conseguente
p→q, q ⊨ pUna fallacia: p → q insieme a q lascia aperta p, perché q può valere per ragioni estranee a p. Il ramo aperto qui sotto dà il contromodello. - Negazione dell'antecedente
p→q, ¬p ⊨ ¬qUna fallacia: p → q non dice nulla su cosa accade quando p fallisce, quindi ¬p lascia aperta q. Il ramo aperto qui sotto mostra q vera con p falsa. - Affermazione di un disgiunto
p∨q, p ⊨ ¬qUna fallacia: p ∨ q è inclusiva, quindi entrambi i lati possono valere insieme. Sapere p non dice nulla su q, come mostra il ramo aperto qui sotto.