Generatore di espressioni da tavola di verità
Imposta la colonna di uscita come ti serve e lo strumento ne ricava la formula: la FND canonica (somma di prodotti), la FNC canonica (prodotto di somme) e la forma equivalente più breve. Tutto viene calcolato nel tuo browser, e la tavola che costruisci viaggia nel collegamento.
| p | q | Uscita |
|---|---|---|
| ⊥ | ⊥ | |
| ⊤ | ⊥ | |
| ⊥ | ⊤ | |
| ⊤ | ⊤ |
Fai clic sui valori di uscita per alternare tra vero (⊤) e falso (⊥)
Espressione generata
Come convertire una tavola di verità in un'espressione booleana
Ogni tavola di verità è la tavola di verità di qualche formula, e due di quelle formule si leggono direttamente da essa, senza algebra e senza tentativi:
- Scrivi tutte le 2ⁿ righe delle tue n variabili e segna quelle in cui l'uscita è ⊤.
- Per ogni riga ⊤ scrivi un mintermine: tutte le variabili in congiunzione, negate dove la riga le rende false. Unisci i mintermini con OR e hai la FND.
- Per ogni riga ⊥ scrivi un maxtermine: tutte le variabili in disgiunzione, negate dove la riga le rende vere. Unisci i maxtermini con AND e hai la FNC.
- Entrambe le formule hanno esattamente la tavola da cui sei partito, quindi entrambe sono risposte corrette. Semplifica poi, se vuoi la più breve.
Mintermine
Una congiunzione di tutte le variabili, ciascuna negata o no, vera in esattamente una riga della tavola. La FND è la disgiunzione dei mintermini delle righe in cui l'uscita è ⊤, ed è per questo che ha un termine per ogni riga ⊤.
Maxtermine
Una disgiunzione di tutte le variabili, ciascuna negata o no, falsa in esattamente una riga della tavola. La FNC è la congiunzione dei maxtermini delle righe in cui l'uscita è ⊥, ed è per questo che ha un termine per ogni riga ⊥.
Esempio svolto: o esclusivo
La tavola qui sopra è quella con cui si apre lo strumento: p e q, vera esattamente nelle due righe in cui gli ingressi differiscono.
- Due righe sono ⊤, quindi la FND ha due mintermini: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
- Le altre due righe sono ⊥, quindi la FNC ha due maxtermini: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Nessuna delle due si può accorciare - l'o esclusivo ha davvero bisogno di entrambi i termini - e vale la pena vederlo una volta: la forma canonica non è sempre la via lunga. È con una tavola come «al più uno fra p, q, r» che la forma minima prende il largo.
Capire la sintesi booleana
Forma normale disgiuntiva (FND)
La FND rappresenta una formula come un OR di AND (somma di prodotti). Per ogni riga in cui l'uscita è vera si costruisce un mintermine che congiunge tutte le variabili, negando quelle false. I mintermini vengono poi uniti con OR a formare l'espressione completa.
Forma normale congiuntiva (FNC)
La FNC rappresenta una formula come un AND di OR (prodotto di somme). Per ogni riga in cui l'uscita è falsa si costruisce un maxtermine che disgiunge tutte le variabili, negando quelle vere. I maxtermini vengono poi uniti con AND a formare l'espressione completa.
FND e FNC a confronto
| Aspetto | Forma normale disgiuntiva (somma di prodotti) | Forma normale congiuntiva (prodotto di somme) |
|---|---|---|
| Costruita da | Le righe in cui l'uscita è ⊤, un mintermine ciascuna | Le righe in cui l'uscita è ⊥, un maxtermine ciascuna |
| Forma | Una disgiunzione di congiunzioni: un OR di AND | Una congiunzione di disgiunzioni: un AND di OR |
| Da preferire quando | Vuoi elencare i casi che rendono vera la formula, o disporre un circuito AND-OR | Vuoi i vincoli che devono valere tutti insieme, o la forma a clausole che si aspetta un risolutore SAT |
Quanto diventa grande la tavola?
Una funzione di n variabili ha 2ⁿ righe, quindi la tavola raddoppia a ogni variabile aggiunta: 4 righe per due variabili, 8 per tre, 16 per quattro e 32 per cinque, dove questo strumento si ferma. La FND prende un termine per ogni riga ⊤ e la FNC uno per ogni riga ⊥: insieme rendono conto di ogni riga esattamente una volta, e una delle due è sempre il punto di partenza più breve.
Applicazioni della sintesi da tavole di verità
Convertire una tavola di verità in un'espressione logica è una tecnica fondamentale in informatica ed elettronica digitale. Questo strumento aiuta a:
- Progettazione di circuiti digitali - ricavare le equazioni booleane delle porte logiche dal comportamento ingresso-uscita desiderato
- Sviluppo software - generare la logica condizionale a partire da tabelle di specifica
- Studio - imparare ed esercitarsi con l'algebra booleana e la logica proposizionale
- Ottimizzazione logica - confrontare FND e FNC per trovare espressioni equivalenti più semplici
Domande frequenti
Trova le risposte alle domande più comuni sull'uso del Calcolatore Logico
Che cosa fa lo strumento da tavola di verità a espressione?
Fa funzionare il calcolatore al contrario. Tu imposti la colonna di uscita di una tavola di verità facendo clic su ogni riga, e lo strumento produce una formula che ha esattamente quella tavola di verità, in forma normale disgiuntiva (un OR di AND) o in forma normale congiuntiva (un AND di OR).
Qual è la differenza tra FND e FNC?
La FND è una somma di prodotti: una congiunzione per ogni riga in cui l'uscita è vera, tutte unite da OR. La FNC è un prodotto di somme: una disgiunzione per ogni riga in cui l'uscita è falsa, tutte unite da AND. Entrambe descrivono la stessa funzione, quindi conviene quella che risulta più corta per la tua tavola: una colonna in prevalenza falsa dà una FND corta, una in prevalenza vera una FNC corta.
Quante variabili accetta lo strumento di sintesi?
Fino a cinque, cioè una tavola di 32 righe. Ogni variabile aggiunta raddoppia le righe, e oltre le cinque la tavola smette di essere qualcosa che si possa compilare a mano.
Perché l'espressione generata è così lunga?
Una forma normale si costruisce riga per riga, con un termine a larghezza piena per ogni riga da coprire: la sua lunghezza segue quindi la tavola di verità e non l'idea che c'è dietro. È corretta per costruzione, non compatta. Per accorciarla, aprila nel calcolatore, che elenca le forme equivalenti, inclusa una FND minimizzata.
Posso ottenere una versione semplificata di una formula?
Sì. Inseriscila nel calcolatore e guarda le forme equivalenti sotto la tavola di verità. Comprendono forme ricavate riscrivendo con le leggi dell'algebra, e la FND e la FNC lette dalla tavola di verità insieme a una FND minimizzata.