풀이 증명
각 페이지는 하나의 논증을 의미론적 태블로로 증명합니다. 전제를 참으로, 결론을 거짓으로 가정한 뒤 모든 가지가 모순에 이르거나 하나의 배정이 살아남을 때까지 분해합니다. 의미론적 태블로의 원리 →
타당한 논증
- 전건 긍정
p→q, p ⊨ qp → q가 성립하고 p가 참이면 q가 따라옵니다. 전건 긍정은 거의 모든 증명이 기대는 규칙이며, 아래 태블로는 모든 가지가 닫힙니다. - 후건 부정
p→q, ¬q ⊨ ¬pp → q가 성립하고 q가 거짓이면 p도 거짓이어야 합니다. p를 참으로 만드는 것은 q도 참으로 만들기 때문입니다. 후건을 부정하면 전건이 부정됩니다. - 가언 삼단논법
p→q, q→r ⊨ p→r중간 논리식을 공유하는 두 조건문은 이어집니다. p → q와 q → r에서 p → r을 얻으며, 짧은 걸음이 긴 논증을 만듭니다. - 선언 삼단논법
p∨q, ¬p ⊨ q선언은 적어도 한쪽이 참이어야 하므로 p ∨ q와 ¬p는 q를 남깁니다. 한쪽을 배제하면 다른 쪽이 남습니다. - 구성적 딜레마
p∨q, p→r, q→r ⊨ rp든 q든 r이 따라오므로 r은 그대로 따라옵니다. 선언과 양쪽에서의 조건문이 공통 결론을 줍니다. - 대우
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q와 ¬q → ¬p는 같은 말입니다. 전건이 참인데 후건이 거짓일 수는 없습니다. 조건문은 그 대우와 동치입니다. - 드모르간의 법칙
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q)는 어느 쪽이 거짓인지 말하지 않고, 둘 다 참일 수는 없다고만 말합니다. 그것이 바로 ¬p ∨ ¬q입니다. - 실질 함의
p→q ⊨ ¬p∨qp → q는 ¬p ∨ q가 성립하는 행에서 정확히 성립합니다. 전건이 거짓이거나 후건이 참이거나입니다. 조건문은 모습을 바꾼 선언입니다. - 이중 부정
¬¬p ⊨ p¬¬p와 p는 같은 행에서 참이므로 이중 부정은 어디에서든 지울 수 있습니다. 부정 두 개는 서로 상쇄됩니다. - 쌍조건 제거
p↔q, p ⊨ qp ↔ q의 두 쪽은 언제나 같은 진리값을 가지므로 p에서 q를, q에서 p를 얻습니다. 쌍조건은 양방향으로 작동합니다. - 배중률
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p는 모든 행에서 참이며 전제가 전혀 필요 없습니다. 모든 명제는 참이거나 거짓이고, 제3의 가능성은 없습니다. - 폭발 원리
p, ¬p ⊨ qp와 ¬p에서는 무엇이든 따라옵니다. 두 전제를 동시에 참으로 만드는 배정이 없으므로, 전제가 참인데 결론이 거짓일 수도 없습니다.
타당하지 않은 논증
- 후건 긍정
p→q, q ⊨ p오류입니다. p → q와 q가 있어도 p는 열려 있습니다. q는 p와 무관한 이유로 성립할 수 있기 때문입니다. 아래 열린 가지가 반례 모델을 줍니다. - 전건 부정
p→q, ¬p ⊨ ¬q오류입니다. p → q는 p가 거짓일 때를 말하지 않으므로 ¬p는 q를 열어 둡니다. 아래 열린 가지는 p가 거짓이고 q가 참인 경우를 보여 줍니다. - 선언지 긍정
p∨q, p ⊨ ¬q오류입니다. p ∨ q는 포함적이어서 양쪽이 동시에 성립할 수 있습니다. p를 안다고 q에 대해 알 수 있는 것은 없으며, 아래 열린 가지가 이를 보여 줍니다.