Gjennomgåtte bevis
Hver side beviser ett argument med et semantisk tablå: premissene antas sanne og konklusjonen usann, og brytes ned til hver gren motsier seg selv eller en tilordning overlever. Slik virker semantiske tablåer →
Gyldige argumenter
- Modus ponens
p→q, p ⊨ qGjelder p → q og er p sann, følger q. Modus ponens er regelen nesten alle bevis hviler på, og tablået nedenfor lukker hver gren. - Modus tollens
p→q, ¬q ⊨ ¬pGjelder p → q og er q usann, må p også være det: alt som gjorde p sann, ville gjøre q sann. Å benekte konsekvensen benekter antecedenten. - Hypotetisk syllogisme
p→q, q→r ⊨ p→rTo kondisjonaler med en felles mellomformel kjedes sammen: av p → q og q → r følger p → r. Slik bygger korte skritt et langt argument. - Disjunktiv syllogisme
p∨q, ¬p ⊨ qEn disjunksjon krever minst én sann side, så p ∨ q med ¬p etterlater q. Utelukkes det ene leddet, står det andre igjen. - Konstruktivt dilemma
p∨q, p→r, q→r ⊨ rEnten p eller q gjelder, følger r — altså følger r uten videre. En disjunksjon pluss en kondisjonal fra hver side gir den felles konklusjonen. - Kontraposisjon
p→q ⊨ ¬q→¬pp → q og ¬q → ¬p sier det samme: ingenting kan gjøre antecedenten sann mens konsekvensen svikter. En kondisjonal gjelder som sin kontraposisjon. - De Morgans lov
¬(p∧q) ⊨ ¬p∨¬q¬(p ∧ q) sier ikke hvilket ledd som svikter, bare at de ikke begge kan gjelde — nettopp ¬p ∨ ¬q. Å benekte en konjunksjon fordeler benektelsen. - Materiell implikasjon
p→q ⊨ ¬p∨qp → q gjelder nøyaktig i de radene der ¬p ∨ q gjelder: enten svikter antecedenten, eller så holder konsekvensen. En kondisjonal er en forkledd disjunksjon. - Dobbel negasjon
¬¬p ⊨ p¬¬p og p er sanne i de samme radene, så en dobbel benektelse kan fjernes der den står. To negasjoner opphever hverandre. - Bikondisjonal-eliminering
p↔q, p ⊨ qDe to sidene av p ↔ q bærer alltid samme sannhetsverdi, så p gir q — og q ville gi p. En bikondisjonal virker begge veier. - Loven om den utelukkede tredje
⊨ p∨¬pp ∨ ¬p er sann i hver rad og krever ingen premiss i det hele tatt: enhver påstand er sann eller usann, uten en tredje mulighet. - Eksplosjonsprinsippet
p, ¬p ⊨ qAv p og ¬p følger hva som helst: ingen tilordning gjør begge premissene sanne, så ingen kan gjøre dem sanne med usann konklusjon.
Ugyldige argumenter
- Bekreftelse av konsekvensen
p→q, q ⊨ pEn feilslutning: p → q sammen med q lar p stå åpen, for q kan gjelde av grunner som ikke har med p å gjøre. Den åpne grenen nedenfor gir motmodellen. - Benektelse av antecedenten
p→q, ¬p ⊨ ¬qEn feilslutning: p → q sier ingenting om hva som skjer når p svikter, så ¬p lar q stå åpen. Den åpne grenen nedenfor viser q sann mens p er usann. - Bekreftelse av et disjunkt
p∨q, p ⊨ ¬qEn feilslutning: p ∨ q er inkluderende, så begge sider kan gjelde samtidig. Å vite p sier ingenting om q, slik den åpne grenen nedenfor viser.