Hesap makinesinin, rehberlerin ve alıştırmaların kullandığı bütün terimler tek bir yerde tanımlı.
Bir terime bakın, gösterimini görün ve örneği hesap makinesinde açarak işleyişini izleyin. Burada tanımlanan terimler, bir rehberde ilk geçtiklerinde vurgulanır.
62 terimin tamamı
Hangi sonuçların hangi varsayımlardan gerçekten çıktığının incelenmesi.
Mantık, akıl yürütmenin konusunu değil biçimini inceler. Biçimsel mantık cümleleri sembollerle değiştirir; böylece bir sonucun çıkıp çıkmadığı yalnızca argümanın biçimine bakılarak karara bağlanır ve makineyle denetlenebilir.
Ya doğru ya yanlış olan, ikisi birden olmayan bir ifade.
Önerme, tam olarak bir doğruluk değeri taşıyan bildirim cümlesidir. «Yağmur yağıyor» bir önermedir; soru ya da buyruk değildir, çünkü onlarda doğru veya yanlış olacak bir şey yoktur.
Bir önermenin alabileceği iki değerden biri: doğru veya yanlış.
Klasik mantık her önermeye iki doğruluk değerinden tam olarak birini verir: ⊤ ve ⊥ (ya da 1 ve 0). Doğruluk tablosunun her satırı, değişkenlere bir değer ataması ve formülün orada aldığı sonuçtur.
İçinde hiçbir bağlaç bulunmayan önerme.
Atomik önerme daha küçük önermelere ayrılamaz: içinde değilleme, tümel evetleme ya da başka bir bağlaç yoktur. Geri kalan her şey bileşiktir, atomlardan kurulur ve doğruluk değeri onlarınkine bağlıdır.
Herhangi bir önermenin yerini tutan p veya A gibi bir harf.
Önerme değişkeni, herhangi bir önerme için bir yer tutucudur. Hesap makinesi tek harfleri değişken olarak kabul eder ve her birine doğruluk tablosunda bir sütun ayırır; her olası değer bileşimi için bir satır olur.
Hesap makinesindep → qDilin dilbilgisinin gerçekten izin verdiği bir sembol dizisi.
İyi kurulmuş formül kurallara göre kurulur: bir değişken böyledir, bir bağlaçla daha küçük formüllerden yapılan her formül de. «p ∧ ∨ q» değildir; bu yüzden hesap makinesi tahmin etmek yerine hata bildirir.
Bir formüldeki bütün değişkenlere doğruluk değeri atanması.
Bir yorum her değişkenin değerini söyler ve böylece formülün tamamının değerini belirler. n değişkenli bir formülün 2ⁿ yorumu vardır; bunlar tam olarak doğruluk tablosunun satırlarıdır.
Bir sonucu desteklemek için öne sürülen öncüller.
Argüman, sonucunun öncüllerinden çıktığını ileri sürer. Hesap makinesine gerektirme işaretiyle yazın — öncüller önce, sonuç sonra — ve öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu bir durum var mı diye her satır denetlensin.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qBir argümanın sonucuna varmak için kabul ettiği ifade.
Öncüller argümanın çıkış noktasıdır. Geçerlilik yalnızca, bütün öncüllerin doğru olduğu her yerde sonucun da doğru olup olmadığını sorar; öncüllerin gerçekten doğru olması ayrı bir sorudur ve sağlamlığın eklediği şeydir.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qBir argümanın ortaya koymaya çalıştığı ifade.
Sonuç, öncüllerin desteklediği şeydir. Hesap makinesinde gerektirme işaretinden sonraki ifadedir ve hiçbir yorum öncülleri doğru yapıp sonucu yanlış yapmıyorsa argüman geçerlidir.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qDaha basit önermelerden bileşik bir önerme kuran sembol.
¬, ∧, ∨, → veya ↔ gibi bir bağlaç, önermeleri doğruluk değeri yalnızca onlarınkine bağlı olan daha büyük bir önermede birleştirir. Doğruluk tablosunun kaydettiği şey tam da bu bağımlılıktır; her girdi bileşimi için bir satır.
Doğruluk değerini tersine çevirir: ¬p tam olarak p yanlışken doğrudur.
Değilleme, önermeler mantığının tek birli bağlacıdır. ¬p, ~p ya da !p biçiminde yazılır; doğruyu yanlışa, yanlışı doğruya çevirir, bu yüzden iki kez değillemek özgün önermeyi geri verir.
Hesap makinesinde¬pYalnızca iki parça da doğruyken doğrudur: p ∧ q.
Tümel evetleme her iki parçasını da ileri sürer. Doğruluk tablosunun tam olarak bir satırında — her iki parçanın da doğru olduğu satırda — doğrudur; bu da onu ikili bağlaçların en katısı yapar.
Hesap makinesindep ∧ qEn az bir parça doğruyken doğrudur: p ∨ q.
Mantıkta tikel evetleme kapsayıcıdır: p ∨ q, p doğruyken, q doğruyken ve ikisi de doğruyken doğrudur. «Veya»nın yalnızca parçalar farklıyken doğru olan dışlayıcı okuması ayrı bir bağlaçtır.
Hesap makinesindep ∨ qİki önermeden tam olarak biri doğruyken doğrudur.
⊕ ya da XOR ile yazılan dışlayıcı evetleme, parçaları farklıyken doğru, aynıyken yanlıştır. Karşılıklı koşulun değillemesidir ve (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) biçiminde de yazılabilir.
Hesap makinesinde(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)p → q, yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır.
Maddi koşul «öncül doğru ve ardıl yanlış değildir»den başka bir şey söylemez, bu yüzden öncül yanlış olduğunda kendiliğinden doğrudur. p → q'nun ¬p ∨ q'ya denk olmasının nedeni budur.
Hesap makinesindep → qp ↔ q, iki parçanın doğruluk değeri aynıyken doğrudur.
Karşılıklı koşul her yanı diğerinin koşuluyla ileri sürer: iki parça da doğruyken ve ikisi de yanlışken doğrudur. Totoloji olan bir karşılıklı koşul tam olarak bir mantıksal denklik ifade eder.
Hesap makinesindep ↔ qBir koşulun «ise»den önceki parçası — p → q'daki p.
Öncül bileşen, koşulun bağlı olduğu şarttır. Yanlış olduğunda ardıl ne olursa olsun koşulun tamamı doğrudur; → tablosundaki şaşırtıcı satırların çoğu buradan gelir.
Hesap makinesindep → qBir koşulun «o hâlde» parçası — p → q'daki q.
Ardıl, öncül bileşen doğruysa koşulun gerçekleşeceğini söylediği şeydir. Doğru bir ardıl koşulu doğru yapar, ama öncülü doğru yapmaz: bunu çıkarmak biçimsel bir yanlıştır.
Hesap makinesindep → qİki parçası yer değiştirmiş koşul: q → p.
p → q'nun karşıtı q → p'dir ve ikisi denk değildir: hesap makinesi birinin doğru, diğerinin yanlış olduğu bir satır bulur. Onları birbirinin yerine kullanmak ardılı olumlamaktır.
Hesap makinesindeq → p¬q → ¬p; doğruluk değeri her zaman p → q ile aynıdır.
Karşıt tersi, koşulun iki parçasını da değiller ve yerlerini değiştirir. Karşıt koşulun aksine özgün önermeye gerçekten denktir; matematikte karşıt tersiyle kanıtı meşru kılan da budur.
Hesap makinesinde(p → q) ≡ (¬q → ¬p)Tümel evetlemenin değillemesi: iki girdi de doğru olmadıkça doğrudur.
↑ ile yazılan NAND, ¬(p ∧ q)'dur. İşlevsel olarak tamdır: her bağlaç yalnızca NAND'dan kurulabilir, bu yüzden sayısal devre tasarımının temel taşıdır.
Hesap makinesinde¬(p ∧ q)Tikel evetlemenin değillemesi: yalnızca iki girdi de yanlışken doğrudur.
↓ ile yazılan NOR, ¬(p ∨ q)'dur. NAND gibi tek başına işlevsel olarak tamdır, bu yüzden bir devre tamamen NOR kapılarından kurulabilir.
Hesap makinesinde¬(p ∨ q)Parantez yokken hangi bağlacın önce bağladığı.
En sıkı bağlayan değillemedir, sonra tümel evetleme, tikel evetleme, koşul ve en sonda karşılıklı koşul gelir. Böylece ¬p ∧ q ∨ r, ((¬p) ∧ q) ∨ r diye okunur; amaçlanan okuma başkaysa parantezler sırayı değiştirir.
Hesap makinesinde¬p ∧ q ∨ rHer değer ataması için bir satır ve formülün oradaki değeri.
Doğruluk tablosu, bir formülün n değişkeninin 2ⁿ yorumunu sıralar ve her birinde değerini hesaplar. Kapsayıcı olduğu için önermeler mantığının her anlamsal sorusunu çözer: denklik, geçerlilik, sağlanabilirlik ve gerisi.
Hesap makinesindep → qHer yorumda doğru olan formül.
Totoloji, doğruluk tablosunun her satırında doğrudur ve bu yüzden dünya hakkında bir şey söylemez: p ∨ ¬p, p ne olursa olsun doğrudur. İki formül tam olarak aralarındaki karşılıklı koşul totolojiyse denktir.
Hesap makinesindep ∨ ¬pHer yorumda yanlış olan formül.
p ∧ ¬p gibi bir çelişki, doğruluk tablosunun her satırında yanlıştır. Bir varsayım kümesinden çelişki türetmek, varsayımların hepsinin birden doğru olamayacağını gösterir; olmayana ergi kanıtının motoru budur.
Hesap makinesindep ∧ ¬pBazı yorumlarda doğru, bazılarında yanlış olan formül.
Olumsal bir formül ne totoloji ne çelişkidir: doğruluk tablosunda en az bir doğru ve en az bir yanlış satır vardır. İnsanların yazdığı formüllerin çoğu olumsaldır, onları bilgilendirici yapan da budur.
Hesap makinesindep ∧ qHerhangi bir yorumun formülü doğru yapıp yapmadığı.
Doğruluk tablosunun en az bir satırı doğruysa formül sağlanabilirdir ve o satır onun bir modelidir. Sağlanabilirliğe karar vermek SAT çözücülerinin ve onlar aracılığıyla otomatik akıl yürütmenin merkezî problemidir.
Hesap makinesindep ∧ (p → q)Doğruluk tabloları aynı olan iki formül.
Denk formüller her yorumda uyuşur, bu yüzden biri söyleneni değiştirmeden her yerde diğerinin yerine geçebilir. İki ifade arasına eşittir koyun; hesap makinesi sütunlarını satır satır karşılaştırsın.
Hesap makinesinde(p → q) ≡ (¬p ∨ q)Öncüllerin doğru olduğu her yorumda sonuç da doğrudur.
Γ ⊨ φ diye yazılan mantıksal gerektirme, geçerli bir argümanın ileri sürdüğü şeydir. Karşı örnek aranarak denetlenir: bütün öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan bir yorum. Böyle bir yorum yoksa gerektirme vardır.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qHiçbir yorum öncülleri doğru, sonucu yanlış yapmaz.
Geçerlilik, olguların değil argümanın biçiminin bir özelliğidir: geçerli bir argümanın öncülleri de sonucu da yanlış olabilir. Olamayacak olan, doğru öncüllerin yanında yanlış bir sonuçtur.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qÖncülleri de gerçekten doğru olan geçerli bir argüman.
Sağlamlık, biçimsel bir iddiaya olgusal bir iddia ekler: argüman geçerlidir ve öncülleri doğrudur. İlk yarıyı tek başına mantık çözer; ikincisi argümanın konusu her neyse ona aittir.
Öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan bir yorum.
Karşı model, argümanın geçersiz olduğunu kanıtlar — bir satır yeter. Hesap makinesi bulduğu satırı gösterir; böylece «bu çıkmaz» sözü, elle denetleyebileceğiniz somut bir atamaya dönüşür.
Hesap makinesindep → q ⊨ q → pBir yorum kümedeki bütün ifadeleri aynı anda doğru yapar.
Bir öncül kümesi, hepsi birlikte doğru olabiliyorsa tutarlıdır. Tutarsız öncüller her şeyi gerektirir, bu yüzden onlara dayanan argüman teknik olarak geçerlidir ve hiçbir işe yaramaz.
Hesap makinesindep → q, ¬q ⊨ ¬pBir değişken ya da onun değillemesi; p veya ¬p gibi.
Literaller normal biçimlerin atomlarıdır: bir tümce literallerin tikel evetlemesi, bir minterim ise onların tümel evetlemesidir. Değişken çıplak durduğunda literal olumlu, değillendiğinde olumsuzdur.
Hesap makinesinde¬pLiterallerin tikel evetlemesi; p ∨ ¬q ∨ r gibi.
Tümce, tümel evetlemeli normal biçimi oluşturan parantezli gruplardan biridir. Bir tümel evetleme yalnızca her parçası doğruyken doğru olduğundan, KNF formülü tam olarak bütün tümceleri doğruyken doğrudur.
Hesap makinesindep ∨ ¬q ∨ rVE'lerin VEYA'sı: literal tümel evetlemelerinin tikel evetlemesi.
Her formülün bir tikel evetlemeli normal biçimi vardır ve bu doğrudan doğruluk tablosundan okunur: her doğru satır için bir tümel evetleme, ∨ ile birleştirilir. Hesap makinesi ayrıca daha az literalle aynı şeyi söyleyen sadeleştirilmiş bir DNF verir.
Hesap makinesinde(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r)VEYA'ların VE'si: tümcelerin tümel evetlemesi.
Tümel evetlemeli normal biçim, doğruluk tablosunun yanlış satırlarından her satıra bir tümce olacak şekilde okunur. SAT çözücülerinin beklediği girdi biçimidir; bu yüzden KNF'ye çevirmek otomatik akıl yürütmede olağan bir adımdır.
Hesap makinesinde(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)Doğruluk tablosunun tam olarak bir satırını gösteren tümel evetleme.
Bir minterim her değişkeni bir kez, değillenmiş ya da değillenmemiş olarak anar; böylece onu tam olarak bir yorum sağlar. Doğru satırların minterimlerini toplayıp ∨ ile birleştirmek formülün tikel evetlemeli normal biçimini verir.
Hesap makinesindep ∧ ¬q ∧ rDoğruluk tablosunun tam olarak bir satırını dışlayan tikel evetleme.
Bir maksterim her değişkeni bir kez anar ve tek bir yorumda yanlıştır. Her yanlış satırın maksterimini alıp ∧ ile birleştirmek formülün tümel evetlemeli normal biçimini verir.
Hesap makinesindep ∨ ¬q ∨ rDeğilleme ∧'yi ∨'ye, ∨'yi ∧'ye çevirir: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q.
De Morgan yasaları bir değillemeyi tümel ya da tikel evetlemenin içine iter ve yolda bağlacı ters çevirir. Bir formül normal biçime böyle götürülür, kodda ve devrelerde değillemeler böyle sadeleşir.
Hesap makinesinde¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qİki kez değillemek özgün önermeyi verir: ¬¬p ≡ p.
Klasik mantıkta çifte değilleme her iki yönde de geçerlidir, bu yüzden ¬¬p ile p her zaman yer değiştirebilir. Sezgici mantık yalnızca p'den ¬¬p'ye giden yönü korur; iki sistem tam burada ayrılır.
Hesap makinesinde¬¬p ≡ pİki değerin cebiri; işlemleri ∧, ∨ ve ¬.
Boole cebiri, önermeler mantığının 0 ve 1 üzerinde aritmetik olarak yazılmış hâlidir; değişme, dağılma, yutma ve De Morgan yasalarıyla ifadeler yeniden yazılıp sadeleştirilir. Sayısal devreler bu matematikle tasarlanır.
Hesap makinesinde(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ pSadeleştirmeleri görünür kılan doğruluk tablosu ızgarası.
Karnaugh haritası satırları, komşu hücreler tek bir değişkende farklı olacak biçimde dizer ve kenarlar birbirine dolanır. K haritası, K-map ya da kmap olarak da yazılır. Boyutu 1, 2, 4 veya 8 olan komşu 1'lerden oluşan dikdörtgen gruplar, en yalın ifadenin terimleri olarak okunur.
Hesap makinesinde(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬r)Haritada daha fazla büyütülemeyen bir grup.
Gerektiren, formülü doğru olmaya zorlayan bir literal tümel evetlemesidir; herhangi bir literali atmak bunu bozacaksa asaldır. Karnaugh haritasında asal gerektirenler, 1'lerden oluşan en büyük dikdörtgenlerdir.
Belirli bir 1'i örten tek asal gerektiren.
Haritadaki bir 1 yalnızca tek bir en büyük gruba aitse, o grup her en yalın örtüde yer almak zorundadır ve önce alınır. Geriye kalan, örtünün gerçekten aranması gereken kısmıdır.
Girdileri üzerinde bir bağlacı hesaplayan devre öğesi.
VE, VEYA, DEĞİL, NAND, NOR ve XOR kapıları bağlaçların donanımdaki karşılığıdır. Bir formül ile bir devre, iki kez çizilmiş aynı nesnedir; hesap makinesi bu yüzden bir ifadeyi kapı şeması olarak gösterebilir.
Hesap makinesinde(p ∧ q) ∨ ¬rTüretilmiş formüllerden yenisine geçmeye izin veren adım.
Çıkarım kuralı, uygun biçimdeki formüller elde olduğunda uygulanabilen modus ponens gibi bir kalıptır. Kanıt sistemleri, yalnızca gerçekten çıkan sonuçların türetilebilmesi için seçilmiş bir avuç kuraldan kurulur.
p → q ve p'den q çıkar.
Modus ponens koşulun temel kuralıdır: bir koşul ve onun öncül bileşeni verildiğinde ardıl çıkar. Geçerliliği doğruluk tablosunda görünür — iki öncülün de doğru olduğu tek satırda sonuç da doğrudur.
Hesap makinesindep → q, p ⊨ qp → q ve ¬q'dan ¬p çıkar.
Modus tollens bir koşulu tersinden yürür: ardıl yanlışsa öncül bileşen doğru olamaz. Bu, karşıt tersinin iş başındaki hâlidir ve bir hipotezi öngörülerini sınayarak çürüten her argümanın biçimidir.
Hesap makinesindep → q, ¬q ⊨ ¬pp → q ve q → r'den p → r çıkar.
Koşullu tasım koşulları birbirine ekler; uzun türetmeleri mümkün kılan da budur: her halka, hiçbir öncül ileri sürülmeden argümanı bir adım öteye taşır.
Hesap makinesindep → q, q → r ⊨ p → rp ∨ q ve ¬p'den q çıkar.
Ayrık tasım elenen seçeneği atar: iki seçenekten biri doğruysa ve birincisi değilse, ikincisi doğru olmalıdır. Eleme yoluyla akıl yürütmenin ardındaki kural budur.
Hesap makinesindep ∨ q, ¬p ⊨ qÇıkarım kurallarını adım adım uygulayarak bir sonucu kanıtlamak.
Doğal çıkarım, her bağlaç için giriş ve çıkış kurallarıyla öncüllerden bir sonuç türetir; geçici varsayımlara izin verir ve sonra onları kaldırır. Doğruluk tablosunun denetlediğini, her satırı taramadan kanıtlar.
Tersini varsay, çelişki türet, özgün önermeyi sonuçlandır.
φ'yi kanıtlamak için ¬φ varsayılır ve ψ ∧ ¬ψ biçiminde bir şey türetilir. Hiçbir yorum çelişkiyi doğru yapmadığından varsayım tutmaz ve φ çıkar. İrrasyonellik ve sonsuzluk kanıtları genellikle böyle ilerler.
Hesap makinesindep ∧ ¬pp → q ve q'dan p'ye geçen geçersiz adım.
Doğru bir ardıl öncülü kanıtlamaz: onu başka bir şey doğurmuş olabilir. Hesap makinesi karşı modeli gösterir — p yanlış, q doğru — bu da bunu modus ponens'ten ayıran satırdır.
Hesap makinesindep → q, q ⊨ pp → q ve ¬p'den ¬q'ya geçen geçersiz adım.
Bir koşul, öncülü yanlış olduğunda ne olacağı konusunda bir şey söylemez; bu yüzden öncülü dışlamak ardılı açık bırakır. Karşı model, p'nin yanlış, q'nun doğru olduğu satırdır.
Hesap makinesindep → q, ¬p ⊨ ¬qÖnermelerin içine, nesnelere ve özelliklerine bakan mantık.
Yüklemler mantığı yüklemler, terimler ve niceleyiciler ekler; böylece «ikiden büyük her asal tektir» tek bir harf değil bir formül olur. Önermeler mantığından kesinlikle daha ifade gücü yüksektir ve hiçbir doğruluk tablosu onu karara bağlayamaz.
Bir yüklemin kaç nesne için geçerli olduğunu söyleyen sembol.
İki klasik niceleyici ∀ (bütün) ve ∃ (en az bir)'dir; her biri gövdesi değillenmiş ötekinin değillemesidir. Bir niceleyicinin bağladığı değişken, yüklemler mantığını önermeler mantığından ayıran şeydir.
∀x φ: φ, evrenin her nesnesi için geçerlidir.
Tümel bir iddia tek bir karşı örnekle çürütülür ve boş bir evrende boşuna doğrudur. ∀x φ, ¬∃x ¬φ'ye denktir; bu da De Morgan yasalarının niceleyicilerdeki karşılığıdır.
∃x φ: φ, evrende en az bir nesne için geçerlidir.
Tikel bir iddia tek bir tanık gösterilerek kanıtlanır. ∃x φ, ¬∀x ¬φ'ye denktir; böylece her niceleyici diğeri ve değilleme yardımıyla tanımlanabilir.
«Zorunlu olarak» (□) ve «olanaklı olarak» (◇) ile genişletilmiş mantık.
Kipler mantığı formülleri tek bir yorumda değil olanaklı dünyalarda değerlendirir: □φ, φ erişilebilir her dünyada doğruysa; ◇φ, bir dünyada doğruysa geçerlidir. «Erişilebilir»in anlamını değiştirmek farklı kip sistemlerini verir.
