कर्नो मानचित्र सॉल्वर
मुफ़्त ऑनलाइन कर्नो मानचित्र सॉल्वर: दो से छह चरों वाला बूलियन व्यंजक लिखें और उसका K-मानचित्र पाएँ, जिसमें हर समूह घेरा हुआ हो और उसी से पढ़ा गया न्यूनतम गुणनफलों का योग या योगों का गुणनफल दिया हो।
विश्लेषण के लिए एक तार्किक अभिव्यक्ति दर्ज करें (प्रस्तावनात्मक तर्क, बूलियन बीजगणित समर्थित)
गाइड
किसी भी संकारक पर क्लिक करके उसका उदाहरण कैलकुलेटर में चलाएँ। हर संकारक के साथ उसे टाइप करने के सभी तरीके दिए गए हैं।
एक व्यंजक लिखिए और यह कर्नो मानचित्र सॉल्वर उसके सत्य मानों को ग्रे-कोड ग्रिड पर सजा देगा, हर उस समूह को घेर देगा जिसे मिलाया जा सकता है, और उन्हीं से न्यूनतम रूप पढ़ लेगा। यह चिह्न (¬ ∧ ∨ → ↔) और सादा ASCII (!, &, |, ->, <->) दोनों लेता है, दो से छह चर सँभालता है, और केवल अच्छा नहीं बल्कि सटीक न्यूनतम निकालता है। कुछ भी अपलोड नहीं होता: मानचित्र आपके ब्राउज़र में ही बनता है।
कर्नो मानचित्र कैसे हल करें
- ऊपर के खाने में अपना व्यंजक लिखें — जैसे (A & B) | (!A & C)। यदि चिह्न टाइप नहीं करना चाहते तो ऑपरेटर कीबोर्ड उन्हें डाल देगा।
- सॉल्वर व्यंजक से चर पढ़ता है और सत्य मानों को ग्रिड पर रखता है। दोनों अक्ष ग्रे-कोड में हैं (00, 01, 11, 10), इसलिए पड़ोसी कोष्ठ ठीक एक चर में भिन्न होते हैं — और इसी कारण उनका समूह एक ही पद में सिमट जाता है।
- हर रंगीन घेरा एक समूह है। संकेत-सूची में किसी समूह पर माउस ले जाइए या उसे छुइए, वह मानचित्र पर उभर आएगा; और «अनिवार्य» चिह्नित समूहों पर ध्यान दीजिए: कोई भी न्यूनतम रूप उन्हें छोड़ नहीं सकता। एक समूह मानचित्र के किनारों से लिपटकर जा सकता है, और एक कोष्ठ एक से अधिक समूहों में हो सकता है।
- नीचे न्यूनतम रूप पढ़िए। गुणनफलों के योग और योगों के गुणनफल के बीच बदलिए, परिणाम कॉपी कीजिए, उसे कैलकुलेटर में वापस लादिए, या मानचित्र को LaTeX अथवा TikZ के रूप में निर्यात कीजिए।
सॉल्वर आपको क्या देता है
- हर समूह घेरा और रंगा हुआ, अनिवार्य समूह चिह्नित, और हर समूह जो पद छोड़ता है वह भी।
- वह न्यूनतम रूप जो सचमुच न्यूनतम है: आवरण लालची ढंग से नहीं चुना जाता, ठीक-ठीक खोजा जाता है, इसलिए चक्रीय मानचित्र भी सबसे छोटा उत्तर देता है।
- एक ही मानचित्र से गुणनफलों का योग या योगों का गुणनफल — 1 का समूह बनाइए या 0 का।
- मानचित्र LaTeX में: सादी तालिका के रूप में, या घेरों और संकेत-सूची सहित TikZ में फिर से खींचा हुआ।
- वही व्यंजक पूरे कैलकुलेटर में खोलें तो सत्य सारणी, गुणधर्म और तुल्य रूप भी मिलते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
(((A∧B)∧C)∨((A∧B)∧¬C))∨((¬A∧B)∧C) का मानचित्र। तीन कोष्ठ सत्य हैं और उन्हें दो-दो के दो समूह ढकते हैं जो उनमें से एक पर एक-दूसरे से मिलते हैं — यही पूरी विधि का लघु रूप है: जो चर समूह के भीतर बदलता है वह उसके पद से हट जाता है, और एक कोष्ठ दो बार ढका जा सकता है।
कर्नो मानचित्र
हर रंगीन समूह सत्य कोष्ठों का एक आयत ढकता है। समूह के भीतर बदलने वाले चर हट जाते हैं, इसलिए हर समूह एक संयोजन छोड़ जाता है। यह मानचित्र कैसे पढ़ें →
| ABC | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊥ |
| 1 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊤ |
समूह
कर्नो मानचित्र में कितने चर हो सकते हैं?
यह सॉल्वर 2 से 6 चरों तक के मानचित्र बनाता है। 2 से कम में समूह बनाने को कुछ नहीं होता; पाँच और छह चर दो या चार अध्यारोपित तलों के रूप में बनते हैं, और 6 से अधिक पर वह भी बगल की सत्य सारणी से अधिक सुपाठ्य नहीं रह जाता। अधिक चरों के लिए भी कैलकुलेटर के तुल्य रूप आपको न्यूनीकृत DNF देते हैं।
| चर | कोष्ठ | ग्रिड |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 × 2 |
| 3 | 8 | 2 × 4 |
| 4 | 16 | 4 × 4 |
| 5 | 32 | 2 × (4 × 4) |
| 6 | 64 | 4 × (4 × 4) |
गुणनफलों का योग और योगों का गुणनफल
सत्य कोष्ठों का समूह बनाने पर गुणनफलों का योग मिलता है: हर समूह के लिए एक संयोजन, «या» से जुड़े। असत्य कोष्ठों का समूह बनाने पर योगों का गुणनफल मिलता है, जिसमें शाब्दिक बाहर आते समय निषिद्ध हो जाते हैं: हर समूह के लिए एक वियोजन, «और» से जुड़े। दोनों एक ही फलन बताते हैं, और कौन छोटा होगा यह इस पर निर्भर है कि 1 या 0 में से कौन साफ़ आयत बनाते हैं — इसलिए सॉल्वर दोनों देता है और छोटा आप चुनिए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
लॉजिक कैलकुलेटर के उपयोग से जुड़े सामान्य प्रश्नों के उत्तर
एक कर्नो मानचित्र में कितने चर हो सकते हैं?
यह सॉल्वर दो से छह चरों तक के मानचित्र बनाता है: दो चर 2 × 2 ग्रिड देते हैं, तीन 2 × 4 और चार 4 × 4। पाँच और छह उसी तरह खींचे जाते हैं जैसे पाठ्यपुस्तकें खींचती हैं - दो या चार 4 × 4 तलों को ऊपर-नीचे रखकर, जहाँ पड़ोसी तलों में एक ही स्थान के खाने निकटवर्ती माने जाते हैं - इसलिए जो समूह तल-चरों का उल्लेख नहीं करता, वह हर पन्ने पर वही आयत होता है। छह से अधिक पर जो निकटताएँ याद रखनी पड़ती हैं वे दिखना बंद हो जाती हैं — और मानचित्र का उपयोग बस यही है: तब कैलकुलेटर के तुल्य रूपों में दिया न्यूनीकृत DNF इस्तेमाल करें।
गुणनफलों के योग और योगों के गुणनफल में क्या अंतर है?
ये एक ही मानचित्र को पढ़ने के दो तरीके हैं। सत्य कोष्ठों का समूह बनाने पर गुणनफलों का योग मिलता है: हर समूह के लिए एक संयोजन, «या» से जुड़े। असत्य कोष्ठों का समूह बनाने पर योगों का गुणनफल मिलता है, जिसमें शाब्दिक निषिद्ध हो जाते हैं: हर समूह के लिए एक वियोजन, «और» से जुड़े। दोनों एक ही फलन बताते हैं; कौन छोटा होगा यह इस पर निर्भर है कि 1 या 0 में से कौन साफ़ आयत बनाते हैं।
क्या सॉल्वर का उत्तर वाकई न्यूनतम रूप है?
हाँ। पहले अनिवार्य प्रधान अन्तर्भावक लिए जाते हैं, और शेष आवरण को लालची ढंग से चुनने के बजाय शाखा-और-सीमा से पूरी तरह खोजा जाता है। चक्रीय मानचित्र में यह मायने रखता है — जहाँ कोई भी समूह अनिवार्य नहीं होता — क्योंकि लालची चुनाव ऐसे आवरण पर रुक सकता है जो एक पद लंबा हो, और वह कभी बताएगा नहीं। अनिवार्य के साथ-साथ अध्यारोहित पंक्तियाँ और स्तंभ भी काटे जाते हैं, बार-बार, जब तक सारणी और न सिकुड़े - इसलिए अधिकांश मानचित्र खोज तक पहुँचते ही नहीं, और यही छह चरों पर भी सटीक उत्तर को तत्काल बनाए रखता है।
स्तंभों पर 00, 01, 11, 10 क्यों लिखा होता है, 00, 01, 10, 11 क्यों नहीं?
क्योंकि यही क्रम मानचित्र को काम करने लायक बनाता है। लेबल ग्रे-कोड में चलते हैं, जिसमें लगातार दो मान ठीक एक बिट में भिन्न होते हैं — इसलिए कोई भी दो पड़ोसी कोष्ठ ठीक एक चर में भिन्न होते हैं, और समान मानों का आयत वह पद बन जाता है जिसमें से वह चर हट चुका है। साधारण द्विआधारी क्रम में 01 और 10 अगल-बगल होते, जबकि वे दो बिट में भिन्न हैं, और उन्हें समूह बनाने का कोई अर्थ न होता। किनारे भी इसी कारण लिपटते हैं: पहला और अंतिम स्तंभ भी एक बिट में भिन्न हैं, इसलिए कोई समूह एक ओर से निकलकर दूसरी ओर जारी रह सकता है।
क्या मैं कोष्ठों को «परवाह नहीं» के रूप में चिह्नित कर सकता हूँ?
सीधे नहीं: सॉल्वर एक व्यंजक का मानचित्र बनाता है, और व्यंजक हर पंक्ति में सत्य या असत्य होता है — लिखने के लिए तीसरा मान नहीं है। जहाँ कोई फलन सचमुच किसी इनपुट की उपेक्षा करता है, उसे सूत्र में लिख दें और मानचित्र दिखा देगा: (D | !D) जैसा पद D को ऐसे चर के रूप में मानचित्र पर रखता है जिस पर फलन निर्भर नहीं करता — वैध BCD अंक का तैयार मानचित्र इसी तरह बना है।