Допустимая цифра BCD: от таблицы истинности к булеву выражению

Таблица истинности
Строка	p	q	r	s	Результат
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Как формы прочитаны по таблице

Результат равен ⊤ в 10 строках из 16: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15. Каждая даёт один минтерм для ДНФ.
Результат равен ⊥ в 6 строках из 16: 4, 6, 8, 12, 14, 16. Каждая даёт один макстерм для КНФ.

Дизъюнктивная нормальная форма (сумма произведений)

(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ s)

Конъюнктивная нормальная форма (произведение сумм)

(¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ ¬s)

Минимальная форма - Сумма произведений

¬p ∨ (¬q ∧ ¬r)

Минимальная форма - Произведение сумм

(¬p ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q)

Открыть эту таблицу в инструменте

Часто задаваемые вопросы

Ответы на распространённые вопросы о работе с Логическим калькулятором

Что делает инструмент «от таблицы истинности к выражению»?

Он запускает калькулятор в обратную сторону. Вы задаёте столбец результата таблицы истинности, щёлкая по строкам, а он выдаёт формулу ровно с такой таблицей истинности — в дизъюнктивной нормальной форме (ИЛИ из И) или в конъюнктивной нормальной форме (И из ИЛИ).

В чём разница между ДНФ и КНФ?

ДНФ — это сумма произведений: по одной конъюнкции на каждую строку, где результат истинен, и все они соединены через ИЛИ. КНФ — произведение сумм: по одной дизъюнкции на каждую строку, где результат ложен, и все они соединены через И. Обе описывают одну и ту же функцию, так что выбирать стоит ту, которая для вашей таблицы короче: преимущественно ложный столбец даёт короткую ДНФ, преимущественно истинный — короткую КНФ.

Сколько переменных выдерживает инструмент синтеза?

До пяти, то есть таблица из 32 строк. Каждая добавленная переменная удваивает число строк, и после пяти таблицу уже нельзя заполнить вручную.

Почему полученное выражение такое длинное?

Нормальная форма строится построчно: по одному полному терму на каждую покрываемую строку, поэтому её длина следует таблице истинности, а не идее, стоящей за формулой. Она корректна по построению, но не компактна. Чтобы её сократить, откройте её в калькуляторе — он перечислит эквивалентные формы, включая минимизированную ДНФ.

Можно ли получить упрощённый вариант формулы?

Да. Введите её в калькулятор и посмотрите на эквивалентные формы под таблицей истинности. Среди них есть формы, полученные преобразованием по законам алгебры, а также ДНФ и КНФ, считанные с таблицы истинности, вместе с минимизированной ДНФ.

Смотреть все вопросы

Строка	p	q	r	s	Результат
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Строка	p	q	r	s	Результат
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Строка	p	q	r	s	Результат
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥