Gültige BCD-Ziffer: von der Wahrheitstabelle zum booleschen Ausdruck

Wahrheitstabelle
Zeile	p	q	r	s	Ausgabe
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Wie die Formen aus der Tabelle abgelesen wurden

Die Ausgabe ist in 10 der 16 Zeilen ⊤: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15. Jede steuert einen Minterm zur DNF bei.
Die Ausgabe ist in 6 der 16 Zeilen ⊥: 4, 6, 8, 12, 14, 16. Jede steuert einen Maxterm zur KNF bei.

Disjunktive Normalform (Summe der Produkte)

(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ s)

Konjunktive Normalform (Produkt der Summen)

(¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ ¬s)

Minimalform - Summe von Produkten

¬p ∨ (¬q ∧ ¬r)

Minimalform - Produkt von Summen

(¬p ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q)

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Häufig gestellte Fragen

Antworten auf häufige Fragen zur Nutzung des Logik-Rechners

Was macht das Werkzeug 'Wahrheitstafel zu Ausdruck'?

Es lässt den Rechner rückwärts laufen. Du legst die Ergebnisspalte einer Wahrheitstafel fest, indem du auf jede Zeile klickst, und es erzeugt eine Formel mit genau dieser Wahrheitstafel – in disjunktiver Normalform (einem ODER von UNDs) oder konjunktiver Normalform (einem UND von ODERs).

Was ist der Unterschied zwischen DNF und KNF?

Die DNF ist eine Summe von Produkten: eine Konjunktion für jede Zeile, in der das Ergebnis wahr ist, alle durch ODER verbunden. Die KNF ist ein Produkt von Summen: eine Disjunktion für jede Zeile, in der das Ergebnis falsch ist, alle durch UND verbunden. Beide beschreiben dieselbe Funktion; vorzuziehen ist also die, die für deine Tafel kürzer ausfällt – eine überwiegend falsche Spalte ergibt eine kurze DNF, eine überwiegend wahre eine kurze KNF.

Wie viele Variablen verkraftet das Synthesewerkzeug?

Bis zu fünf, also eine Tafel mit 32 Zeilen. Jede weitere Variable verdoppelt die Zeilen, und jenseits von fünf ist die Tafel von Hand nicht mehr sinnvoll zu setzen.

Warum ist der erzeugte Ausdruck so lang?

Eine Normalform wird Zeile für Zeile gebaut – ein Term in voller Breite für jede Zeile, die abgedeckt werden muss. Ihre Länge folgt also der Wahrheitstafel und nicht dem Gedanken dahinter. Sie ist konstruktionsbedingt korrekt, nicht kompakt. Um sie zu kürzen, öffne sie im Rechner, der äquivalente Formen einschließlich einer minimierten DNF auflistet.

Bekomme ich auch eine vereinfachte Fassung einer Formel?

Ja. Gib sie im Rechner ein und sieh dir die äquivalenten Formen unter der Wahrheitstafel an. Dort stehen Formen, die durch Umformen mit den algebraischen Gesetzen entstehen, sowie die aus der Wahrheitstafel abgelesene DNF und KNF zusammen mit einer minimierten DNF.

Alle Fragen ansehen

Zeile	p	q	r	s	Ausgabe
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Zeile	p	q	r	s	Ausgabe
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
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10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥

Zeile	p	q	r	s	Ausgabe
1	⊥	⊥	⊥	⊥	⊤
2	⊤	⊥	⊥	⊥	⊤
3	⊥	⊤	⊥	⊥	⊤
4	⊤	⊤	⊥	⊥	⊥
5	⊥	⊥	⊤	⊥	⊤
6	⊤	⊥	⊤	⊥	⊥
7	⊥	⊤	⊤	⊥	⊤
8	⊤	⊤	⊤	⊥	⊥
9	⊥	⊥	⊥	⊤	⊤
10	⊤	⊥	⊥	⊤	⊤
11	⊥	⊤	⊥	⊤	⊤
12	⊤	⊤	⊥	⊤	⊥
13	⊥	⊥	⊤	⊤	⊤
14	⊤	⊥	⊤	⊤	⊥
15	⊥	⊤	⊤	⊤	⊤
16	⊤	⊤	⊤	⊤	⊥