কার্নো মানচিত্র সমাধানকারী
বিনামূল্যে অনলাইন কার্নো মানচিত্র সমাধানকারী: দুই থেকে ছয় চলকের বুলিয়ান রাশি লিখুন আর পান তার K-মানচিত্র, যেখানে প্রতিটি দল ঘেরা এবং সেখান থেকেই পড়া ন্যূনতম গুণফলের যোগ বা যোগফলের গুণ দেওয়া।
একটি লজিক্যাল এক্সপ্রেশন ইনপুট করুন বিশ্লেষণের জন্য (প্রপোজিশনাল লজিক, বুলিয়ান অ্যালজেব্রা সমর্থিত)
গাইড
যেকোনো অপারেটরে ক্লিক করে ক্যালকুলেটরে তার উদাহরণ চালিয়ে দেখুন। প্রতিটির সঙ্গে সেটি টাইপ করার সব উপায় দেওয়া আছে।
একটি রাশি লিখুন, আর এই কার্নো মানচিত্র সমাধানকারী তার সত্যমানগুলি গ্রে-কোড ছকে সাজিয়ে দেবে, যত দল মেলানো যায় প্রতিটিকে ঘিরে দেবে, আর সেগুলি থেকেই ন্যূনতম রূপ পড়ে নেবে। এটি চিহ্ন (¬ ∧ ∨ → ↔) বা সাধারণ ASCII (!, &, |, ->, <->) নেয়, দুই থেকে ছয় চলক সামলায়, আর কেবল ভালো নয় — সঠিক ন্যূনতমটিই বের করে। কিছুই আপলোড হয় না: মানচিত্র আপনার ব্রাউজারেই তৈরি হয়।
কার্নো মানচিত্র কীভাবে সমাধান করবেন
- উপরের ঘরে আপনার রাশি লিখুন — যেমন (A & B) | (!A & C)। চিহ্ন টাইপ করতে না চাইলে অপারেটর কি-বোর্ড সেগুলি বসিয়ে দেবে।
- সমাধানকারী রাশি থেকে চলকগুলি পড়ে নিয়ে সত্যমানগুলি ছকে বসায়। অক্ষদুটি গ্রে-কোডে সাজানো (00, 01, 11, 10), তাই পাশাপাশি ঘর ঠিক একটি চলকে আলাদা হয় — আর এ কারণেই ঘরের একটি দল একটিমাত্র পদে গুটিয়ে যায়।
- প্রতিটি রঙিন বৃত্ত একটি দল। নির্দেশিকার কোনও দলের উপর মাউস নিন বা স্পর্শ করুন, সেটি মানচিত্রে ফুটে উঠবে; আর «অপরিহার্য» চিহ্নিত দলগুলি লক্ষ করুন: কোনও ন্যূনতম রূপই সেগুলি বাদ দিতে পারে না। একটি দল মানচিত্রের কিনারা ঘুরে যেতে পারে, আর একটি ঘর একাধিক দলে থাকতে পারে।
- নিচে ন্যূনতম রূপ পড়ুন। গুণফলের যোগ আর যোগফলের গুণের মধ্যে বদল করুন, ফল কপি করুন, ক্যালকুলেটরে ফিরিয়ে নিন, কিংবা মানচিত্রটি LaTeX বা TikZ হিসেবে রপ্তানি করুন।
সমাধানকারী কী দেয়
- প্রতিটি দল ঘেরা ও রঙ করা, অপরিহার্যগুলি চিহ্নিত, আর প্রতিটি দল যে পদ রেখে যায় তাও।
- সত্যিকারের ন্যূনতম রূপ: আচ্ছাদন লোভীভাবে বাছা হয় না, নিখুঁতভাবে খোঁজা হয় — তাই চক্রীয় মানচিত্রও সবচেয়ে ছোট উত্তর দেয়।
- একই মানচিত্র থেকে গুণফলের যোগ কিংবা যোগফলের গুণ — ১ দল করুন বা ০ দল করুন।
- মানচিত্র LaTeX-এ: সাধারণ ছক হিসেবে, বা বৃত্ত ও নির্দেশিকাসহ TikZ-এ নতুন করে আঁকা।
- একই রাশি পূর্ণ ক্যালকুলেটরে খুললে সত্যক সারণি, ধর্ম ও সমতুল্য রূপগুলিও মেলে।
একটি সমাধান করা উদাহরণ
(((A∧B)∧C)∨((A∧B)∧¬C))∨((¬A∧B)∧C)-এর মানচিত্র। তিনটি ঘর সত্য, আর সেগুলিকে ঢাকে দুই ঘরের দুটি দল, যারা একটি ঘরে মিলে যায় — গোটা পদ্ধতিটাই এখানে ছোট করে আছে: দলের ভেতরে যে চলক বদলায় সেটি ওই দলের পদ থেকে পড়ে যায়, আর একটি ঘর দু'বার ঢাকা পড়তেই পারে।
কার্নো মানচিত্র
প্রতিটি রঙিন দল সত্য ঘরের একটি আয়তক্ষেত্র ঢেকে রাখে। দলের ভিতরে যে চলকগুলি বদলায় সেগুলি বাদ পড়ে, তাই প্রতিটি দল একটি সংযোজন রেখে যায়। এই মানচিত্র কীভাবে পড়বেন →
| ABC | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊥ |
| 1 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊤ |
দল
কার্নো মানচিত্রে কতগুলি চলক থাকতে পারে?
এই সমাধানকারী 2 থেকে 6 চলকের মানচিত্র আঁকে। 2-এর কম হলে দল করার কিছু থাকে না; পাঁচ ও ছয় চলক দুই বা চারটি স্তূপীকৃত তলে আঁকা হয়, আর 6-এর বেশি হলে তাতেও সেটি পাশের সত্যক সারণির চেয়ে সহজপাঠ্য থাকে না। বেশি চলকের জন্যও ক্যালকুলেটরের সমতুল্য রূপ আপনাকে ন্যূনতমীকৃত DNF দেয়।
| চলক | ঘর | ছক |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 × 2 |
| 3 | 8 | 2 × 4 |
| 4 | 16 | 4 × 4 |
| 5 | 32 | 2 × (4 × 4) |
| 6 | 64 | 4 × (4 × 4) |
গুণফলের যোগ ও যোগফলের গুণ
সত্য ঘরগুলি দল করলে পাওয়া যায় গুণফলের যোগ: প্রতি দলে একটি সংযোজন, «অথবা» দিয়ে যুক্ত। মিথ্যা ঘরগুলি দল করলে পাওয়া যায় যোগফলের গুণ, যেখানে বর্ণগুলি বেরোনোর সময় নেতিবাচক হয়: প্রতি দলে একটি বিয়োজন, «এবং» দিয়ে যুক্ত। দুটিই একই ফাংশন বোঝায়, আর কোনটি ছোট তা নির্ভর করে ১ না ০ পরিচ্ছন্ন আয়ত গড়ে তার উপর — তাই সমাধানকারী দুটিই দেয়, ছোটটি আপনি নিন।
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
লজিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার নিয়ে সাধারণ প্রশ্নের উত্তর
একটি কার্নো মানচিত্রে সর্বাধিক কতগুলি চলক থাকতে পারে?
এই সমাধানকারী দুই থেকে ছয় চলকের মানচিত্র আঁকে: দুই চলকে 2 × 2 ছক, তিনে 2 × 4, চারে 4 × 4। পাঁচ ও ছয় পাঠ্যবই যেভাবে আঁকে সেভাবেই আঁকা হয় - দুই বা চারটি 4 × 4 তল স্তূপ করে, পাশাপাশি তলে একই অবস্থানের ঘরগুলিকে সন্নিহিত ধরে - তাই যে দলটি স্তূপের চলকগুলির উল্লেখ করে না, সেটি প্রতিটি পাতায় একই আয়তক্ষেত্র। ছয়ের বেশি হলে যে সন্নিহিততাগুলি মাথায় রাখতে হয় সেগুলি আর দেখা যায় না — অথচ মানচিত্রের কাজই কেবল সেটুকু: তখন ক্যালকুলেটরের সমতুল্য রূপে দেওয়া ন্যূনতমীকৃত DNF ব্যবহার করুন।
গুণফলের যোগ আর যোগফলের গুণে পার্থক্য কী?
এ দুটি একই মানচিত্র পড়ার দুই উপায়। সত্য ঘরগুলি দল করলে পাওয়া যায় গুণফলের যোগ: প্রতি দলে একটি সংযোজন, «অথবা» দিয়ে যুক্ত। মিথ্যা ঘরগুলি দল করলে পাওয়া যায় যোগফলের গুণ, যেখানে বর্ণগুলি বেরোনোর সময় নেতিবাচক হয়ে যায়: প্রতি দলে একটি বিয়োজন, «এবং» দিয়ে যুক্ত। দুটিই একই ফাংশন বোঝায়; কোনটি ছোট তা নির্ভর করে ১ না ০ পরিচ্ছন্ন আয়ত গড়ে তার উপর।
সমাধানকারীর উত্তর কি সত্যিই ন্যূনতম রূপ?
হ্যাঁ। আগে অপরিহার্য মৌলিক অন্তর্ভাবকগুলি নেওয়া হয়, বাকি আচ্ছাদন লোভী পদ্ধতিতে বাছার বদলে শাখা-ও-সীমা দিয়ে সম্পূর্ণ খোঁজা হয়। চক্রীয় মানচিত্রে — যেখানে কোনও দলই অপরিহার্য নয় — এটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ লোভী বাছাই এমন আচ্ছাদনে থামতে পারে যা এক পদ বেশি লম্বা, আর তা কখনও জানাবে না। অপরিহার্যগুলির পাশাপাশি অধীন সারি ও স্তম্ভও বাদ দেওয়া হয়, বারবার, যতক্ষণ না ছকটি আর ছোট হয় - ফলে বেশির ভাগ মানচিত্র খোঁজ পর্যন্ত পৌঁছায়ই না, আর সেটাই ছয় চলকেও নির্ভুল উত্তরকে তাৎক্ষণিক রাখে।
কলামগুলিতে 00, 01, 10, 11 না লিখে 00, 01, 11, 10 কেন লেখা হয়?
কারণ ওই ক্রমই মানচিত্রটিকে কাজ করায়। লেবেলগুলি গ্রে-কোডে চলে, যেখানে পরপর দুটি মান ঠিক এক বিটে আলাদা — তাই পাশাপাশি যেকোনো দুটি ঘর ঠিক একটি চলকে আলাদা হয়, আর সমান মানের একটি আয়ত হয়ে ওঠে এমন একটি পদ যেখান থেকে ওই চলকটি বাদ পড়েছে। সাধারণ দ্বিমিক ক্রমে 01 আর 10 পাশাপাশি পড়ত, অথচ তারা দুই বিটে আলাদা, আর তাদের দল করার কোনও অর্থ থাকত না। কিনারা একই কারণে জড়িয়ে যায়: প্রথম ও শেষ কলামও এক বিটে আলাদা, তাই কোনও দল এক পাশ দিয়ে বেরিয়ে অন্য পাশে চলতে পারে।
আমি কি ঘরগুলিকে «গ্রাহ্য নয়» হিসেবে চিহ্নিত করতে পারি?
সরাসরি নয়: সমাধানকারী একটি রাশির মানচিত্র আঁকে, আর রাশি প্রতিটি সারিতে সত্য বা মিথ্যা — লেখার মতো তৃতীয় কোনও মান নেই। কোনও ফাংশন যদি সত্যিই একটি ইনপুট উপেক্ষা করে, সেটিই সূত্রে লিখে দিন, মানচিত্র দেখিয়ে দেবে: (D | !D)-এর মতো পদ D-কে এমন চলক হিসেবে মানচিত্রে বসায় যার উপর ফাংশন নির্ভর করে না — বৈধ BCD অঙ্কের তৈরি মানচিত্রটি এভাবেই গড়া।