حلّال خرائط كارنو
حلّال خرائط كارنو مجاني على الإنترنت: اكتب تعبيرًا بوليانيًّا من متغيّرين إلى ستة واحصل على خريطته مع تحديد كل مجموعة، والصيغة الدنيا لمجموع الجداءات أو جداء المجاميع مقروءةً منها.
أدخل تعبيراً منطقياً لتحليله (يدعم المنطق القضوي، الجبر البولياني)
الدليل
انقر على أي عامل لتجربة مثاله في الحاسبة. يعرض كل عامل جميع الطرق التي يمكنك كتابته بها.
اكتب تعبيرًا، فيوزّع حلّال خرائط كارنو هذا قيمه المنطقية على شبكة مرمّزة بترميز غراي، ويحدّد كل مجموعة يمكن دمجها، ثم يقرأ منها الصيغة الدنيا. يقبل الرموز (¬ ∧ ∨ → ↔) أو ASCII العادي (!, &, |, ->, <->)، ويغطّي من متغيّرين إلى ستة، ويحسب حدًّا أدنى مضبوطًا لا مجرد حلٍّ جيد. لا يُرفع أي شيء: الخريطة تُبنى داخل متصفّحك.
كيف تحلّ خريطة كارنو
- اكتب تعبيرك في الحقل أعلاه - مثلًا (A & B) | (!A & C). ولوحة المعاملات تدرج الرموز إن لم ترغب في كتابتها.
- يقرأ الحلّال المتغيّرات من التعبير ويوزّع القيم المنطقية على الشبكة. المحوران مرمّزان بترميز غراي (00، 01، 11، 10)، فتختلف الخليتان المتجاورتان في متغيّر واحد بالضبط - وهذا ما يجعل مجموعةً منها تنطوي في حدٍّ واحد.
- كل حلقة ملوّنة مجموعة. مرّر المؤشر فوق مجموعة في المفتاح أو المسها لإبرازها على الخريطة، وانتبه للمُعلَّمة بأنها جوهرية: لا يمكن لأي صيغة دنيا أن تُسقطها. وقد تلتفّ المجموعة حول حواف الخريطة، وقد تنتمي الخلية إلى أكثر من مجموعة.
- اقرأ الصيغة الدنيا في الأسفل. بدّل بين مجموع الجداءات وجداء المجاميع، وانسخ النتيجة، وأعد تحميلها في الحاسبة، أو صدّر الخريطة بصيغة LaTeX أو TikZ.
ماذا يعطيك الحلّال
- كل مجموعة محدَّدة وملوّنة، مع تعليم الجوهرية منها والحدّ الذي تخلّفه كل واحدة.
- صيغة دنيا دنيا حقًّا: يُبحث عن التغطية بحثًا مضبوطًا لا اختيارًا جشعًا، فتخرج حتى الخريطة الدورية في أقصر صورة.
- مجموع جداءات أو جداء مجاميع - تجميع الآحاد أو تجميع الأصفار - من الخريطة نفسها.
- الخريطة بصيغة LaTeX: إما جدولًا بسيطًا أو معادة الرسم في TikZ بحلقاتها ومفتاحها.
- وجدول الصدق والخصائص والصيغ المكافئة أيضًا، إذا فتحت التعبير نفسه في الحاسبة الكاملة.
مثال محلول
خريطة (((A∧B)∧C)∨((A∧B)∧¬C))∨((¬A∧B)∧C). ثلاث خلايا صادقة، تغطّيها مجموعتان من خليتين تتداخلان في إحداها - وهذا هو المنهج كله مصغَّرًا: المتغيّر الذي يتبدّل داخل المجموعة يسقط من حدّها، والخلية يجوز أن تُغطّى مرتين.
خريطة كارنو
تغطي كل مجموعة ملوّنة مستطيلاً من الخلايا الصادقة. المتغيّرات التي تتبدّل داخل المجموعة تسقط، فتترك كل مجموعة عطفاً واحداً. كيف تقرأ هذه الخريطة ←
| ABC | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊥ |
| 1 | ⊥ | ⊥ | ⊤ | ⊤ |
المجموعات
كم متغيّرًا يمكن أن تضم خريطة كارنو؟
يرسم هذا الحلّال خرائط لعدد متغيّرات بين 2 و6. دون 2 لا شيء يُجمَّع؛ وتُرسم خمسة وستة متغيّرات على مستويين أو أربعة مستويات مكدّسة، وفوق 6 تكفّ الخريطة حتى بهذا الشكل عن كونها أسهل قراءةً من جدول الصدق المجاور. ولعدد أكبر من المتغيّرات تظل الصيغ المكافئة في الحاسبة تعطيك صيغة عطفية طبيعية مصغَّرة.
| المتغيّرات | الخلايا | الشبكة |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 × 2 |
| 3 | 8 | 2 × 4 |
| 4 | 16 | 4 × 4 |
| 5 | 32 | 2 × (4 × 4) |
| 6 | 64 | 4 × (4 × 4) |
مجموع الجداءات وجداء المجاميع
تجميع الخلايا الصادقة يعطي مجموع جداءات: اقتران واحد لكل مجموعة، تربطها «أو». وتجميع الخلايا الكاذبة يعطي جداء مجاميع مع نفي الحدود عند الإخراج: فصل واحد لكل مجموعة، تربطها «و». وكلتاهما تصف الدالة نفسها، وأيّهما أقصر يتوقف على ما إذا كانت الآحاد أم الأصفار تكوّن المستطيلات الأنظف - لذلك يعطيك الحلّال الاثنتين وتأخذ أنت الأصغر.
الأسئلة الشائعة
إجابات عن الأسئلة الشائعة حول استخدام الآلة الحاسبة المنطقية
كم متغيّرًا يمكن أن تضم خريطة كارنو؟
يرسم هذا الحلّال خرائط من متغيّرين إلى ستة: متغيّران يعطيان شبكة 2 × 2، وثلاثة 2 × 4، وأربعة 4 × 4. أما خمسة وستة فتُرسم كما ترسمها الكتب، على هيئة مستويين أو أربعة مستويات 4 × 4 متراكبة، مع اعتبار الخلايا التي تشغل الموضع نفسه في مستويين متجاورين متجاورةً - فالمجموعة التي لا تذكر متغيّرات التراكب هي المستطيل نفسه في كل صفحة. وفوق ستة تتوقف علاقات الجوار التي عليك تذكّرها عن أن تكون مرئية، وهي وحدها ما تُصنع الخريطة من أجله: استخدم عندئذٍ الصيغة العطفية الطبيعية المصغَّرة ضمن الصيغ المكافئة في الحاسبة.
ما الفرق بين مجموع الجداءات وجداء المجاميع؟
هما قراءتان للخريطة نفسها. تجميع الخلايا الصادقة يعطي مجموع جداءات: اقتران واحد لكل مجموعة، تربطها «أو». وتجميع الخلايا الكاذبة يعطي جداء مجاميع مع نفي الحدود عند الإخراج: فصل واحد لكل مجموعة، تربطها «و». وكلتاهما تصف الدالة نفسها؛ وأيّهما أقصر يتوقف على ما إذا كانت الآحاد أم الأصفار تكوّن المستطيلات الأنظف.
هل الجواب الذي يعطيه الحلّال هو فعلًا الصيغة الدنيا؟
نعم. تُؤخذ المتضمّنات الأولية الجوهرية أولًا، ثم يُبحث عن بقية التغطية بحثًا شاملًا بأسلوب التفريع والتقييد بدلًا من الاختيار الجشع. وهذا مهم في خريطة دورية - لا تكون فيها أي مجموعة جوهرية - لأن الاختيار الجشع قد يستقر على تغطية أطول من الدنيا بحدّ واحد، ولن يخبرك بذلك أبدًا. وتُشطب الصفوف والأعمدة المهيمَن عليها إلى جانب الأساسية، مرّة بعد مرّة حتى يتوقّف الجدول عن الانكماش، فلا تبلغ معظم الخرائط مرحلة البحث أصلًا - وهذا ما يبقي الجواب الدقيق فوريًا حتى عند ستة متغيّرات.
لماذا تُعنون الأعمدة 00 و01 و11 و10 بدل 00 و01 و10 و11؟
لأن هذا الترتيب هو ما يجعل الخريطة تعمل. تسير العناوين بترميز غراي، حيث تختلف القيمتان المتتاليتان في بتّ واحد بالضبط، فتختلف أي خليتين متجاورتين في متغيّر واحد بالضبط - ومن ثم يصير مستطيل القيم المتساوية حدًّا سقط منه ذلك المتغيّر. أما في الترتيب الثنائي المعتاد فستقع 01 و10 جنبًا إلى جنب رغم اختلافهما في بتّين، ولن يعني تجميعهما شيئًا. وللسبب نفسه تلتفّ الحواف: العمودان الأول والأخير يختلفان أيضًا في بتّ واحد، فيجوز للمجموعة أن تخرج من جهة وتُكمل من الجهة الأخرى.
هل يمكنني وسم خلايا بأنها «لا تهمّ»؟
ليس مباشرة: الحلّال يرسم تعبيرًا، والتعبير صادق أو كاذب في كل سطر - فلا قيمة ثالثة تُكتب. وحيث تتجاهل الدالة مدخلًا فعلًا، اكتب ذلك في الصيغة وستُظهره الخريطة: حدّ مثل (D | !D) يضع D على الخريطة كمتغيّر لا تعتمد عليه الدالة، وهكذا بُنيت الخريطة الجاهزة للرقم BCD الصالح.