Введение в пропозициональное исчисление

← Назад к пропозициональному калькулятору

Введение

Пропозициональное исчисление, или пропозициональная логика, является основной ветвью логики, которая фокусируется на манипуляции и комбинации утверждений, которые могут быть определенно объявлены как истинные или ложные.

Утверждения

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

Истинностные значения: ⊤ и ⊥

В пропозициональной логике мы используем специальные символы для представления истинностных значений: ⊤ (верх) представляет ИСТИНУ, а ⊥ (низ) представляет ЛОЖЬ. Эти символы являются стандартными в формальной логике и появляются в таблицах истинности в этом руководстве.

Таблицы истинности

Таблицы истинности показывают все возможные комбинации истинностных значений для логического выражения.

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Логические операторы

Логические операторы используются для объединения утверждений и создания сложных логических выражений.

Оператор отрицания

Оператор отрицания переворачивает истинностное значение утверждения. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

Оператор И

Оператор И возвращает истину только когда оба утверждения истинны. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Оператор ИЛИ

Оператор ИЛИ возвращает истину когда хотя бы одно из утверждений истинно. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

ИМПЛИКАЦИЯ →

Истинно за исключением случая, когда первое утверждение истинно, а второе ложно. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

ДВУСТОРОННЯЯ ИМПЛИКАЦИЯ ↔

Истинно, когда оба утверждения одинаково истинны или ложны. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Выражения

Логические выражения - это утверждения, объединенные с помощью логических операторов.

Логические эквиваленты

Два логических выражения логически эквивалентны, если они имеют одинаковое истинностное значение при всех назначениях истинностных значений.

Доказательства

Логические доказательства - это последовательности логических рассуждений, которые выводят заключения из предпосылок.

Применения

Пропозициональная логика имеет применения во многих областях, включая информатику, математику и философию.