Introduction au Calcul Propositionnel

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Introduction

Le calcul propositionnel, ou logique propositionnelle, est une branche fondamentale de la logique qui se concentre sur la manipulation et la combinaison de propositions, déclarations qui peuvent être définitivement déclarées vraies ou fausses. Il pose les bases pour comprendre des systèmes logiques plus complexes et trouve des applications dans diverses disciplines.

Propositions

Les propositions sont des phrases déclaratives qui affirment un fait sur le monde, qui peut être vrai ou faux, comme \"Il pleut\".

Valeurs de Vérité : ⊤ et ⊥

En logique propositionnelle, nous utilisons des symboles spéciaux pour représenter les valeurs de vérité : ⊤ (haut) représente VRAI et ⊥ (bas) représente FAUX. Ces symboles sont standard en logique formelle et apparaissent dans les tables de vérité tout au long de ce guide.

Tables de Vérité

Les tables de vérité sont des méthodes systématiques pour déterminer la valeur de vérité des expressions logiques basées sur les valeurs de vérité de leurs propositions constituantes, offrant une représentation visuelle claire des opérations logiques. Elles peuvent ressembler à ceci :

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Opérateurs Logiques

Les opérateurs logiques sont des symboles utilisés pour connecter les propositions ou altérer leurs valeurs de vérité, formant la base pour construire des expressions logiques complexes. Les opérateurs principaux incluent :

NON ¬

Nie la valeur de vérité d'une proposition. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

ET ∧

Vrai si les deux propositions qu'il combine sont vraies. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

OU ∨

Vrai si au moins une des propositions combinées est vraie. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

IMPLIQUE →

Vrai sauf quand la première proposition est vraie et la seconde est fausse. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

BICONDITIONNEL ↔

Vrai si les deux propositions sont également vraies ou fausses. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Expressions

Les expressions sont des déclarations plus complexes formées en joignant des propositions avec des opérateurs logiques, permettant la représentation de relations logiques nuancées.

Équivalences Logiques

Les équivalences logiques sont des expressions qui détiennent la même valeur de vérité sous toutes les conditions possibles. Elles incluent des lois fondamentales comme la Loi d'Identité, la Loi de Non-Contradiction, et les lois de De Morgan.

Preuves

Les preuves en calcul propositionnel impliquent de démontrer la vérité d'une proposition basée sur des axiomes (vérités assumées), des vérités préalablement établies, et des règles d'inférence. Elles sont cruciales pour valider les arguments logiques et les théorèmes.

Applications

Le calcul propositionnel n'est pas seulement un cadre théorique mais a aussi des applications pratiques en informatique pour la vérification de logiciels, en mathématiques pour formaliser les preuves, et en philosophie pour analyser les arguments. Ses principes soutiennent l'étude de systèmes logiques plus avancés, comme la logique des prédicats, et jouent un rôle vital dans le développement du raisonnement logique et des compétences de pensée critique.