Introduktion till propositionskalkyl

Introduktion

Propositionskalkyl, eller propositionslogik, är en grundläggande gren av logik som fokuserar på manipulation och kombination av propositioner.

Propositioner

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

Sanningsvärden: ⊤ och ⊥

I propositionslogik använder vi speciella symboler för att representera sanningsvärden: ⊤ (topp) representerar SANN och ⊥ (botten) representerar FALSK. Dessa symboler är standard inom formell logik och förekommer i sanningtabeller genom hela denna guide.

Sanningsvärdestabeller

Sanningsvärdestabeller visar alla möjliga kombinationer av sanningsvärden för ett logiskt uttryck.

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Logiska operatorer

Logiska operatorer används för att kombinera propositioner och skapa komplexa logiska uttryck.

Negationsoperator

Negationsoperatorn vänder på propositionens sanningsvärde. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

Och-operator

Och-operatorn returnerar sant endast när båda propositionerna är sanna. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Eller-operator

Eller-operatorn returnerar sant när minst en av propositionerna är sann. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

IMPLIKATION →

Sant utom när första propositionen är sann och den andra är falsk. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

BIVILLKOR ↔

Sant när båda propositionerna är lika sanna eller falska. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Uttryck

Logiska uttryck är propositioner kombinerade med logiska operatorer.

Logiska ekvivalenser

Två logiska uttryck är logiskt ekvivalenta om de har samma sanningsvärde vid alla sanningsvärdestilldelningar.

Bevis

Logiska bevis är sekvenser av logiska resonemang som drar slutsatser från premisser.

Tillämpningar

Propositionslogik har tillämpningar inom många områden, inklusive datavetenskap, matematik och filosofi.