Introdução ao Cálculo Proposicional

Introdução

O cálculo proposicional, ou lógica proposicional, é um ramo fundamental da lógica que se concentra na manipulação e combinação de proposições, declarações que podem ser definitivamente declaradas verdadeiras ou falsas. Estabelece as bases para compreender sistemas lógicos mais complexos e encontra aplicações em várias disciplinas.

Proposições

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

Valores de Verdade: ⊤ e ⊥

Na lógica proposicional, usamos símbolos especiais para representar valores de verdade: ⊤ (topo) representa VERDADEIRO e ⊥ (fundo) representa FALSO. Esses símbolos são padrão na lógica formal e aparecem em tabelas verdade ao longo deste guia.

Tabelas de Verdade

Tabelas de verdade são métodos sistemáticos para determinar o valor de verdade de expressões lógicas baseadas nos valores de verdade das suas proposições constituintes, oferecendo uma representação visual clara das operações lógicas. Podem parecer-se com o seguinte:

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Operadores Lógicos

Operadores lógicos são símbolos usados para conectar proposições ou alterar os seus valores de verdade, formando a base para construir expressões lógicas complexas. Os operadores primários incluem:

NÃO ¬

Nega o valor de verdade de uma proposição. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

E ∧

Verdadeiro se ambas as proposições que combina são verdadeiras. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

OU ∨

Verdadeiro se pelo menos uma das proposições combinadas é verdadeira. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

IMPLICA →

Verdadeiro exceto quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

BICONDICIONAL ↔

Verdadeiro se ambas as proposições são igualmente verdadeiras ou falsas. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Expressões

Expressões são declarações mais complexas formadas ao juntar proposições com operadores lógicos, permitindo a representação de relações lógicas nuanceadas.

Equivalências Lógicas

Equivalências lógicas são expressões que mantêm o mesmo valor de verdade sob todas as condições possíveis. Incluem leis fundamentais como a Lei da Identidade, a Lei da Não-Contradição, e as leis de De Morgan.

Provas

Provas no cálculo proposicional envolvem demonstrar a verdade de uma proposição baseada em axiomas (verdades assumidas), verdades previamente estabelecidas, e regras de inferência. São cruciais para validar argumentos lógicos e teoremas.

Aplicações

O cálculo proposicional não é apenas uma estrutura teórica mas também tem aplicações práticas na ciência da computação para verificação de software, na matemática para formalizar provas, e na filosofia para analisar argumentos. Os seus princípios sustentam o estudo de sistemas lógicos mais avançados, como a lógica de predicados, e desempenham um papel vital no desenvolvimento do raciocínio lógico e habilidades de pensamento crítico.