Introducción al Cálculo Proposicional

Introducción

El cálculo proposicional, o lógica proposicional, es una rama fundamental de la lógica que se centra en la manipulación y combinación de proposiciones, declaraciones que pueden ser definitivamente declaradas verdaderas o falsas. Establece las bases para comprender sistemas lógicos más complejos y encuentra aplicaciones en varias disciplinas.

Proposiciones

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

Valores de Verdad: ⊤ y ⊥

En lógica proposicional, usamos símbolos especiales para representar valores de verdad: ⊤ (superior) representa VERDADERO y ⊥ (inferior) representa FALSO. Estos símbolos son estándar en lógica formal y aparecen en tablas de verdad a lo largo de esta guía.

Tablas de Verdad

Las tablas de verdad son métodos sistemáticos para determinar el valor de verdad de expresiones lógicas basadas en los valores de verdad de sus proposiciones constituyentes, ofreciendo una representación visual clara de las operaciones lógicas. Pueden verse así:

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Operadores Lógicos

Los operadores lógicos son símbolos utilizados para conectar proposiciones o alterar sus valores de verdad, formando la base para construir expresiones lógicas complejas. Los operadores principales incluyen:

NO ¬

Niega el valor de verdad de una proposición. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

Y ∧

Verdadero si ambas proposiciones que combina son verdaderas. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

O ∨

Verdadero si al menos una de las proposiciones combinadas es verdadera. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

IMPLICA →

Verdadero excepto cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

BICONDICIONAL ↔

Verdadero si ambas proposiciones son igualmente verdaderas o falsas. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

Expresiones

Las expresiones son declaraciones más complejas formadas al unir proposiciones con operadores lógicos, permitiendo la representación de relaciones lógicas matizadas.

Equivalencias Lógicas

Las equivalencias lógicas son expresiones que mantienen el mismo valor de verdad bajo todas las condiciones posibles. Incluyen leyes fundamentales como la Ley de Identidad, la Ley de No Contradicción, y las leyes de De Morgan.

Demostraciones

Las demostraciones en el cálculo proposicional implican demostrar la verdad de una proposición basada en axiomas (verdades asumidas), verdades previamente establecidas, y reglas de inferencia. Son cruciales para validar argumentos lógicos y teoremas.

Aplicaciones

El cálculo proposicional no es solo un marco teórico sino que también tiene aplicaciones prácticas en ciencias de la computación para verificación de software, en matemáticas para formalizar demostraciones, y en filosofía para analizar argumentos. Sus principios sustentan el estudio de sistemas lógicos más avanzados, como la lógica de predicados, y juegan un papel vital en el desarrollo del razonamiento lógico y habilidades de pensamiento crítico.