مقدمة إلى حساب التفاضل المنطقي

مقدمة

حساب التفاضل المنطقي، أو المنطق القضوي، هو فرع أساسي من المنطق يركز على معالجة وتركيب القضايا - العبارات التي يمكن الإعلان عنها بشكل قاطع كصحيحة أو خاطئة. إنه يضع الأساس لفهم الأنظمة المنطقية الأكثر تعقيداً ويجد تطبيقات عبر مختلف التخصصات.

القضايا

Propositions are declarative sentences that assert a fact about the world, which can either be true or false, such as "It is raining".

قيم الحقيقة: ⊤ و ⊥

في المنطق القضوي، نستخدم رموزًا خاصة لتمثيل قيم الحقيقة: ⊤ (أعلى) يمثل صحيح و ⊥ (أسفل) يمثل خطأ. هذه الرموز قياسية في المنطق الرسمي وتظهر في جداول الحقيقة في جميع أنحاء هذا الدليل.

جداول الحقيقة

جداول الحقيقة هي طرق منهجية لتحديد قيمة الحقيقة للتعبيرات المنطقية بناءً على قيم الحقيقة لقضاياها المكونة، مما يقدم تمثيلاً بصرياً واضحاً للعمليات المنطقية. يمكن أن تبدو كما يلي:

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

العمليات المنطقية

العمليات المنطقية هي رموز تستخدم لربط القضايا أو تغيير قيم حقيقتها، مما يشكل أساس بناء التعبيرات المنطقية المعقدة. تشمل العمليات الأساسية:

ليس ¬

ينفي قيمة الحقيقة للقضية. ¬

p	¬p
⊥	⊤
⊤	⊥

و ∧

صحيح إذا كانت كلا القضيتين اللتان يجمعهما صحيحتان. ∧

p	q	p ∧ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

أو ∨

صحيح إذا كانت واحدة على الأقل من القضايا المجمعة صحيحة. ∨

p	q	p ∨ q
⊥	⊥	⊥
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊤
⊤	⊤	⊤

يتضمن →

صحيح إلا عندما تكون القضية الأولى صحيحة والثانية خاطئة. →

p	q	p → q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊤
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

التكافؤ ↔

صحيح إذا كانت كلا القضيتين متساويتان في الصحة أو الخطأ. ↔

p	q	p ↔ q
⊥	⊥	⊤
⊥	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊤	⊤	⊤

التعبيرات

التعبيرات هي عبارات أكثر تعقيداً تتشكل من خلال ربط القضايا بالعمليات المنطقية، مما يسمح بتمثيل العلاقات المنطقية الدقيقة.

التكافؤات المنطقية

التكافؤات المنطقية هي تعبيرات تحمل نفس قيمة الحقيقة في جميع الظروف الممكنة. تشمل قوانين أساسية مثل قانون الهوية، وقانون عدم التناقض، وقوانين دي مورغان.

البراهين

البراهين في حساب التفاضل المنطقي تتضمن إثبات صحة قضية بناءً على البديهيات (الحقائق المفترضة)، والحقائق المثبتة مسبقاً، وقواعد الاستنتاج. إنها حاسمة للتحقق من صحة الحجج المنطقية والنظريات.

التطبيقات

حساب التفاضل المنطقي ليس مجرد إطار نظري ولكن له أيضاً تطبيقات عملية في علوم الحاسوب للتحقق من البرمجيات، وفي الرياضيات لإضفاء الطابع الرسمي على البراهين، وفي الفلسفة لتحليل الحجج. مبادئه تدعم دراسة الأنظمة المنطقية الأكثر تقدماً، مثل منطق المحمولات، وتلعب دوراً حيوياً في تطوير التفكير المنطقي ومهارات التفكير النقدي.